Question

A antiderivada mais geral da funçao g(x):x^2+senx é:

Answer 1

Boa noite.

A antiderivada(primitiva) de $x^2$ é $\dfrac{x^3}{3}+C_1$
A da função $sen(x)$ é $-cos(x)+C_2$

Se fizermos a  antiderivada, podemos fazer a de cada termo individualmente e teremos:

$G(x)=\dfrac{x^3}{3}-cos(x)+C_1+C_2$

Mas como $C_1$ e $C_2$ são constantes, sua soma será constante, e podemos simplificá-la para $C$ .

Logo, teremos a antiderivada mais geral como:

$\boxed{G(x)=\dfrac{x^3}{3}-cos(x)+C}$

Answer 2

✅ Após realizar os cálculos, concluímos que a primitiva - antiderivada ou integral indefinida - da referida função é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf G(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \cos(x) + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt g(x) = x^{2} + \sin(x)\end{gathered}$

Calculando a primitiva "G(x)" da função "g(x)", temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt G(x) = \int g(x)\,dx\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int \left[x^{2} + \sin(x)\right]\,dx\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int x^{2}\,dx + \int \sin(x)\,dx\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + \left[-\cos(x)\right] + c\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{3}x^{3} - \cos(x) + c\end{gathered}$

✅ Portanto, a primitiva procurada é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt G(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \cos(x) + c\end{gathered}$

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