Question

A antiderivada de ∫√x²+1 x dx é:

Answer 1

Tomemos

u = x² + 1

Note que (du/dx)=2x . Assim, temos que dx=(du/2x).


Substituindo no enunciado, temos:

∫ √(x²+1) x dx = ∫√(u) x (du/2x)

 

Como (xdu/2x) = (½du), temos que: 

∫√(u) (½) du = (½) ∫√(u) du


Podemos escrever √(u) como sendo (u)^( ½)  [ “u” elevado à ½]. Assim: 

(½) ∫√(u) du = (½) ∫(u)^( ½) du

 

Definindo a primitiva, temos:

(½)*[(u)^( ½ + 1)] /(½ + 1) + C = (½)*[(u)^(3/2)] /(3/2) + C = 

(½)*(2/3)*[(u)^(3/2)] + C = (1/3)*[(u)^(3/2)] + C

 

Podemos escrever [(u)^(3/2)] como sendo √(u)³ e, em seguida, retornar à variável do enunciado. Assim: 

(1/3)*[(u)^(3/2)] + C = (1/3)*√(u)³ + C = (1/3)* √(x²+1)³ + C = (1/3)*√[(x²+1)²(x²+1)] + C = (1/3)*(x²+1) √(x²+1) + C

 

Portanto, a antiderivada e ∫ √(x²+1) x dx é igual a (1/3)*(x²+1) √(x²+1) + C.