Question

A antiderivada de $\int\limits \sqrt{ x^{2} +1} . dx$ é?

a resposta final está no anexo, porem nao tenho certeza.

cáculo por favor

Answer 1

Oi Cabraldapraia

∫ √(x² + 1) dx

x = tan(u) e dx = sec^2(u) du.

√ (x² + 1) = ((tan²(u)+1) = sec(u) e u = tan^(-1)(x)

∫ √(x² + 1) dx = ∫ sec^3(u) du = 1/2 sqrt(x^2+1) x+1/2 log(sqrt(x^2+1)+x)+c

resposta ∫ √(x² + 1) dx =  1/2 (√(x^2+1)x + sinh^(-1)(x)) + C

Answer 2

Olá Cabral!

façamos uma substituição trigonométrica do tipo:

$a^2+x^2?, faca:x=Tg(u)$

onde,

$a = 1$

Então,


$x = 1Tg(u) =Tg(u)$

Derivando ambos os lados, teremos:

$\\ \frac{d}{du}( x) = \frac{d}{du}(Tgu ) \\ \\ 1dx = Sec^2(u)du$
------------------------------------

Vamos substituir em nossa integral essas informações:

$\\ \int\limits \sqrt{1+x^2} {} \, dx = \int\limits \sqrt{1+(1tgu)^2} {} \, Sec^2(u)du \\ \\ \int\limits \sqrt{1+Tg^2u} {} \, Sec^2udu$

Lembrando que:

$Sec^2u = 1+tg^2u$

Ficaremos...

$\\ \int\limits \sqrt{Sec^2u} {} \, Sec^2udu \\ \\ \int\limits |Secu| {} \, Sec^2udu$

Como, 1+tg²u > 0

Então,

| Secu | > 0
--------------------------------

Então, podemos retirar o módulo:

$\\ =\int\limits Secu {} \, Sec^2udu \\ \\ = \int\limits {} \, Sec^3udu$

Recorrendo a uma formula de redução trigonométrica, onde:


$\\ \int\limits \, Sec^nudu = \frac{TguSec^n^-^2}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int\limits Sec^n^-^2 {u} \, dx$

Onde nosso "n = 3"

$\\ = \frac{TguSecu}{2} + \frac{1}{2} \int\limits Secu {} \, dx$

Como já sabemos, Integral de Secu = Ln| Secu + Tgu|

Então,


$\\ = \frac{TguSecu}{2} + \frac{1}{2} Ln|Secu+Tgu|$

Falta, achar o valor de "Tgu e Secu" 

Tinhamos que,


$x = Tgu$

Lembrando que Tgu = CO/CA

E que, Tgu = X/1

Então, 

CO = X
CA = 1

Hip = √(1+X²)  ⇔ Aplicando teorema de pitágoras

logo,

Secu = 1/Cosu

Secu = Hip/CA

Secu =  √(1+X²)
-----------------------------------------


Substituindo em nossa integral:

$\\ = \frac{x \sqrt{1+x^2} }{2} + \frac{1}{2} Ln| \sqrt{1+x^2} +x|$

Deixando claro que não devemos esquecer da constante "K"

$\\ = \frac{x \sqrt{1+x^2} }{2} + \frac{1}{2} Ln| \sqrt{1+x^2} +x|+K$