Question

A altura relativa á hipotenusa de um triangulo retângulo mede 6,5cm e a hipotenusa mede 15,5cm.calcule as medida do catetos

Answer 1

Resposta: essas medidas não são de um triângulo retângulo.

Um cateto mede 15,0928 cm e o outro mede 3,5295 cm.

Entre as relações métricas de um triângulo retângulo, temos que a altura (h) ao quadrado (h²) é igual ao produto das projeções dos catetos que vamos chamar de m e n. Então ficaria: h² = m.n

Também existe uma relação que diz que a hipotenusa (a) é igual a soma destas projeções (a = m+n).

Dados do problema:

(altura) h = 6,5 cm

(hipotenusa) a = 15,5 cm

Primeira relação:

h² = m.n

(6,5)² = m.n

mn = 42,25

Segunda relação:

a = m+n

m+n= 15,5

Montando um sistema de equações de 1º grau com as duas relações:

$\left \{ {{mn=42,25} \atop {m+n=15,5}} \right.$

Isolando o m na segunda equação:

m = 15,5 - n

Substituindo na primeira equação:

(15,5 - n)n = 42,25

15,5n - n² = 42,25

-n² + 15,5n - 42,25 = 0 (equação de 2º grau)

Δ = (15,5)² - 4. (-1) . (-42,25)

Δ  = 240,25 - 169

Δ= 71,25

n' = [-(+15,5) + √71,25]/2.(-1)

n' = [-15,5 + 8,4410]/-2

n' = - 7,059/-2

n' = 3,5295 (vamos chamar de cateto b)

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n'' = [-15,5 - 8,4410]/-2

n'' = 23,9410/-2

n'' = - 11,9705 (não serve porque medida não dá negativo)

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A medida de um dos catetos é 3,5295 cm

Usando Teorema de Pitágoras acharemos o outro cateto (c):

a² = b² + c²

(15,5)² = (3,5295)² + c²

240,25 = 12,4574 + c²

240,25 - 12,4574 =c²

c² = 227,7926

c = $\sqrt{227,7926}$

c ≈ 15,0928 cm

VERIFICAÇÃO

Temos outra relação métrica no triângulo retângulo, que diz o produto dos catetos é igual ao produto da altura pela hipotenusa:

b.c = h.a

3,5295 . 15,09228 = 6,5 . 15,5

53,27 ≈ 100,75

CONCLUSÃO: essas medidas não são de um triângulo retângulo.