A altura, em relação à sua hipotenusa, de um triângulo retângulo, mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem em 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros iguais a:
A)10, 15 e 20
B)12,17 e 22
C)15, 20 e 25
D)16,21 e 26
E)18,23 e 28
Soluções para a tarefa
Resposta:
h = 12
m - n = 7 ou m = 7 + n ****
h² = m * n
144 = ( 7 + n) * n
7n + n² - 144 = 0
n² + 7n - 144 = 0
delta = 49 + 576 =625 ou V625 = 25 ****
n = ( - 7 +25)/2 = 18/2 = 9 ***
m = 7 + 9 = 16 ****
m + n = a
a = 16 + 9 = 25 ***
b² = am
b² = 25 * 16
b² = 400
b = 20 *****
c² = an
c² = 25 * 9
c² = 225
c = 15 ****
resposta C
Os lados do triângulo são, em centímetros iguais a:
C) 15, 20 e 25
Relações métricas no triângulo retângulo
Utilizaremos a seguinte relação:
o quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa: h² = m·n.
Essa altura mede 12 cm. Logo:
m·n = 12²
m·n = 144 (I)
Como essas projeções diferem em 7 cm, temos: m - n = 7. Logo, m = 7 + n (II).
Substituindo (II) em (I), temos:
(7 + n)·n = 144
7n + n² = 144
n² + 7n - 144 = 0
Resolvendo essa equação do 2° grau, temos:
n' = 9 ou n'' = - 16.
Como é medida de comprimento, só pode ser positivo. Logo, n = 9.
m = 7 + n => m = 7 + 9 => m = 16.
A hipotenusa mede: m + n = 16 + 9 = 25 cm.
O cateto menor mede: c² = a.n => c² = 25.9 => c² = 225 => c = 15 cm.
O cateto maior mede: b² = a.m => b² = 25.16 => b² = 400 => b = 20 cm.
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