Question

A altura de um triângulo equilátero é igual a medida do lado de um quadrado de perímetro 16√3 cm. Sabendo-se disso, determine:
a) a área do triângulo equilátero;
b) a diagonal do quadrado.
Por favor me ajudem com isso! Não entendo quase nada do assunto, e isso é pra amanhã.

Answer 1

Olá Gabriella! :)

Se o perímetro do quadrado é igual a 16√3, então qual é o valor de seu lado?!
Simples, o perímetro de um quadrado é seu lado multiplicado por 4, então para descobrir seu  lado, basta dividir o seu perímetro por 4.

$\frac{16 \sqrt{3} }{4} \to 4\sqrt{3}~cm$


Agora que sabemos qual é a medida do lado desse quadrado, podemos fazer os exercícios.



A - Sabemos que um triângulo equilátero tem todos os lados iguais, certo?!
Então se dividirmos um triângulo equilátero ao meio, encontraremos dois triângulos escalenos(com todos os lados diferentes), sendo que que a altura desse triângulo equilátero, seria um dos catetos dos outros dois triângulos que encontramos dividindo o equilátero ao meio. Observe o desenho para entender melhor.

Para encontrarmos o valor da hipotenusa, que seria a medida do lado do triângulo equilátero, usaremos o teorema de Pitágoras:

$a^2=b^2+c^2\\\\\\ x^2=( \frac{x}{2} )^2+(4 \sqrt{3} )^2\to x^2= \frac{x^2}{4}+16 \sqrt{9}\to x^2= \frac{x^2}{4}+16.3\to \\\\ x^2= \frac{x^2}{4}+48\to mmc=4\to 4x^2=x^2+192\to 4x^2-x^2=192\to \\\\ 3x^2=192\to x^2= \frac{192}{3} \to x^2=64\to x= \sqrt{64} \to \boxed{x=8~cm}$

Agora sabemos que o lado do triângulo equilátero mede 8 cm, então podemos calcular sua área:

$A= \frac{L^2. \sqrt{3} }{4} \to A= \frac{8^2. \sqrt{3} }{4}\to A= \frac{64. \sqrt{3} }{4} \to \boxed{A=16 \sqrt{3} ~cm^2}$





B - Sabemos que o lado desse quadrado mede 4√3 cm, para calcularmos sua diagonal, também usaremos o teorema de Pitágoras, pois, se dividirmos um quadrado ao meio de um vértice até o vértice oposto, encontraremos dois triângulos escalenos, sendo a diagonal a reta entre os vértices, que é a hipotenusa.

$a^2=b^2+c^2\\\\\\ x^2=(4 \sqrt{3} )^2+(4 \sqrt{3} )^2\to x^2=16\sqrt{9} +16\sqrt{9}\to x^2=16.3+16.3\to \\\\ x^2=48+48\to x^2=96\to x= \sqrt{96} \to x= \sqrt{2^2.2^2.2.3} \to \\\\ x= 2.2\sqrt{2.3} \to \boxed{x=4 \sqrt{6}~cm }$



Espero ter ajudado :)