Question

A altura de um triângulo equilátero e a diagonal de um quadrado tem mediadas iguais. Se a área do triângulo equilátero é 16√3 m². Determine a área do quadrado mencionado.

Answer 1

A formula da área de um triangulo equilátero é 
A = (l² * √3)/4
então
16√3 = (l² * √3) /4
64√3 = l² * √3
64√3/ √3 = l²
64 = l² - > l = 8

A Altura desse triangulo é calculada
h = l √3 /2
h = 8 √3 / 2
h = 4√3
A altura desse triangulo e a diagonal do quadrado são iguais
h = d 
a diagonal de um quadrado e calculada
d = l√2
4√3 = l√2
l = 4√3/√2 racionaliza
l =4√6/2
l = 2√6

A área de um quadrado é calculada 
A = l ²
A = (2√6)²
A = 4 * 6
A = 24m²
  

Answer 2

Considere a altura do triângulo equilátero e a diagonal do quadrado iguais a x.

A altura do triângulo equilátero é um cateto em um triângulo retângulo menor, cuja hipotenusa é o lado do triângulo equilátero. Os ângulos internos do triângulo equilátero são iguais a 60º. Logo, x/l = sen60º = √3/2 ⇒ x = l.√3/2

Área do triângulo equilátero: $\frac{b.h}{2}$ ⇒ $\frac{l. \frac{l \sqrt{3} }{2} }{2}=16 \sqrt{3}$

$\frac{ l^{2} \sqrt{3} }{4} =16 \sqrt{3}$

$l^{2} = 64$ ⇒ $l=8$ ⇒ $x=4 \sqrt{3}$

A diagonal do quadrado forma um triângulo retângulo com dois de seus lados.

$\frac{l}{x} = sen45 = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$l = x. \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$l = 4 \sqrt{3} . \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$l = 2 \sqrt{6}$

A área do quadrado é o lado elevado ao quadrado: $(2 \sqrt{6} )^{2} = 4.6 = 24$ m²