Question

A altura de um trapézio isósceles mede 3√3 m, a base maior mede 14 m e o perímetro 34 m. Determine a área desse trapézio.

Answer 1

Temos que encontrar o valor da hipotenusa do triângulo retângulo que é formado pelo lado e pela altura do trapézio:

Lados = x
Base menor = y
Base maior  = 14
Perímetro = 34

y = 14 - 2x  => 14 da base - os dois catetos da base que se formam com a altura:
$2a + 14 + y = 34$

$2a + 14 + 14 - 2y = 34 \\ \\ 2a + 28 - 2x = 34 \\ \\ 2a - 2x = 34 - 28 \\ \\ 2a - 2x = 6 \\ \\ 2a = 6 + 2x \\ \\ a = \dfrac{6 + 2x}{2} \\ \\ a = 3 +x$

 $a^2 = x^2 + (3 \sqrt{3})^2 \\ \\ (3 +x)^2 = x^2 + 27 \\ \\ (3 +x)(3 + x ) = x^2 + 27 \\ \\ x^2 + 6x + 9 = x^2 + 27 \\ \\ x^2 - x^2 + 6x = 27 - 9 \\ \\ 6x = 18 \\ \\ \\ x = \dfrac{18}{6} \\ \\ \\ x = 3$

Substituímos em y = 14 - 2x 

y = 14 - 2x 
y  = 14 - 2 * 3
y = 14 - 6
y =  8

A base menor = 8 m

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Calcular a área

$A = \dfrac{(B + b) * h}{2} \\ \\ \\ A = \dfrac{(14 +8) *3 \sqrt{3}}{2} \\ \\ \\ A = \dfrac{22 *3 \sqrt{3}}{2} \\ \\ \\ A = \dfrac{66 \sqrt{3}}{2} \\ \\ \\ \\ \fbox{ \ A = 33\sqrt{3}} \ m^2 \ }$

Answer 2

A área deste trapézio vale 33√3 m².

A área de um trapézio é o resultado da metade do produto entre sua altura e a soma de suas bases, matematicamente, temos:

A = (b + B).h/2

onde b e B são as bases menor e Maior e h a altura do mesmo. Temos então que descobrir a base menor. O trapézio é formado por dois triângulos retângulos e um retângulo, a soma dos lados medem 34 metros, portanto, temos:

P = b + B + 2x

onde x é a hipotenusa do triângulo retângulo. Os catetos do triângulo são a altura e a metade da diferença entre a base maior e a menor:

x² = h² + ((B - b)/2)²

x² = 27 + (14 - b)²/4

Substituindo:

b = P - B - 2x

x² = 27 + (14 - (34 - 14 - 2x)²/4

x² = 27 + (-6 - 2x)²/4

x² = 27 + (36 + 24x + 4x²)/4

x² = 27 + 9 + 6x + x²

6x = 36

x = 6

Substituindo o valor de x:

b = 34 - 14 - 12

b = 8 m

O valor da área é:

A = (8 + 14).3√3/2

A = 33√3 m²

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