Matemática, perguntado por ivonicesousala, 6 meses atrás

A alternativa que corresponde ao valor da integral a seguir é:

a. 0
b. -30
c. -20
d. -35
e. -25

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por ComandoAlfa

(B) O valor dessa integral definida é -30.

$\blacksquare$ Primeiro, vamos calcular a integral indefinida $\int (\frac{4}{\sqrt{x}} -3\sqrt{x}) dx$ .

'A integral de uma soma é a soma das integrais', i.e,

$\large \begin{array}{l}\begin{matrix}\int \left(\frac{4}{\sqrt{x}} -3\sqrt{x}\right) dx=\int \frac{4}{\sqrt{3}} dx+\int -3\sqrt{x} dx\end{matrix}\\\\=\int \frac{4}{\sqrt{3}} dx-\int 3\sqrt{x} dx\end{array}$

$\blacksquare$ Sabemos que a solução geral para integrais a forma $\int ax^ndx$ é:

$\Large\begin{matrix}\int ax^{n} dx=a\cdotp \frac{x^{n} +1}{n+1} +c,n\neq-1\end{matrix}$

∴A primeira integral fica

$\Large \begin{array}{l}\int \frac{4}{\sqrt{x}} dx=\int 4x^{-1/2} dx\\\\\int \frac{4}{\sqrt{x}} dx=4\cdotp \frac{x^{-\frac{1}{2} +1}}{-\frac{1}{2} +1} +c\\\\\int \frac{4}{\sqrt{x}} dx=4\cdotp \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} +c\\\\\int \frac{4}{\sqrt{x}} dx=8\sqrt{x} +c\end{array}$

E para a segunda,

$\Large \begin{array}{l}\int 3\sqrt{x} dx=\int 3x^{\frac{1}{2}} dx\\\\\int 3\sqrt{x} dx=3\cdotp \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} +c\\\\\int 3\sqrt{x} dx=2\sqrt{x^{3}} +c\\\\\therefore \int \frac{4}{\sqrt{x}} -3\sqrt{x} dx=8\sqrt{x} -2\sqrt{x^{3}} +c\\\\\Longrightarrow \int \frac{4}{\sqrt{x}} -3\sqrt{x} dx=(8-2x)\sqrt{x} +c\end{array}$

$\blacksquare$ Para aplicar os limites de integração, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\Large\boxed{\int^b_af(x)dx=\Phi(b)-\Phi(a)}$

Em que $\Phi(x)$ é a primitiva ou antiderivada de $f(x)$ .

Como se trata de uma integral definida, podemos desconsiderar a constante de integração. Assim,

$\Large{\begin{array}{l}\int _{4}^{9}\frac{4}{\sqrt{x}} -3\sqrt{x} dx=\left[( 8-2\cdotp 9)\left(\sqrt{9}\right)\right] -\left[( 8-2\cdotp 4)\left(\sqrt{4}\right)\right]\\\\\Longrightarrow \int _{4}^{9}\frac{4}{\sqrt{x}} -3\sqrt{x} dx=( -10\cdotp 3) -0\\\\\boxed{\boxed{\Longrightarrow \int _{4}^{9}\frac{4}{\sqrt{x}} -3\sqrt{x} dx=-30}}\end{array}}$