Question

A adição de dois vetores, V1→ e V2→, de mesmo módulo e que formam entre si um ângulo de 60º quando suas origens coincidem, resulta em um vetor de módulo igual a 3. É dado que



sen 60ο e cos 60ο O módulo de V1→ ou de V2→ é

a)
6

b) raiz de 6


c)
3

d)
12

e) raiz de 3

Answer 1

Resposta:

e)

Explicação passo-a-passo:

Para dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, temos a seguinte relação entre eles:

$\vec{u}\cdot\vec{v}=u\cdot v\cdot\cos\theta$

Onde $u$ e $v$ são seus respectivos módulos e $\theta$ é o ângulo entre eles. Daí tiramos que:

$\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=v_1\cdot v_2\cdot\cos 60^\circ$

Sendo $v_2=v_1$:

$\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=v_1\cdot v_1\cdot\cos 60^\circ$

$\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=v_1^2\cdot\cos 60^\circ$

$\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=v_1^2\cdot\frac{1}{2}$

Sendo $\vec{v}_1+\vec{v}_2$ o vetor resultante da soma, foi dito que o seu módulo é $|\vec{v}_1+\vec{v}_2|=3$, logo $|\vec{v}_1+\vec{v}_2|^2=9$. Sendo $|\vec{v}_1+\vec{v}_2|^2 = (\vec{v}_1+\vec{v}_2) \cdot(\vec{v}_1+\vec{v}_2)$

$(\vec{v}_1+\vec{v}_2) \cdot(\vec{v}_1+\vec{v}_2)=9$

$\vec{v}_1\cdot\vec{v}_1+\vec{v}_2\cdot\vec{v}_2+2\cdot\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=9$

$v_1^2+v_2^2+2\cdot\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=9$

$v_1^2+v_1^2+2\cdot\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=9$

$2v_1^2+2\cdot\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=9$

Foi visto que $\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=v_1^2\cdot\frac{1}{2}$, logo:

$2v_1^2+2\cdot v_1^2\cdot\frac{1}{2}=9$

$2v_1^2+v_1^2=9$

$3v_1^2=9$

$v_1^2=3$

$v_1=v_2=\sqrt{3}$