Question

A aceleração de uma partícula que se move no espaço tridimensional é a = 2,00.t i + 5,00.t j + 3,00.t k, em que a aceleração está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos.


Em t = 0 s, o vetor posição r = 3,00 i + 8,00 j em metros indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade v = 8,00 i + 12,0 j + 1,00 k em m/s.


O vetor posição dessa partícula, em metros, em t = 5,00 s, será dado aproximadamente por:


Escolha uma opção:

a. Nenhuma das outras alternativas está correta

b. Não é possível calcular com os dados fornecidos

c. 84,6 i + 130 j + 193 k

d. 84,6 i + 172 j + 67,5 k

e. 168 i + 131 j + 67,5 k

f. 168 i + 381 j + 193 k

g. 84,6 i + 30,2 j + 67,5 k

Answer 1

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⠀⠀☞ Através da função horária da posição para cada coordenada concluímos que aos 5 segundos a partícula estará em 84,6 i + 172 j + 67,5 k, o que nos leva à opção d). ✅

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⠀⠀ Neste exercício faremos uma análise do movimento da partícula para cada coordenada. Temos que a função horária da aceleração é:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf a(t) = a_0 + A \cdot t}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a_0 }}$ sendo a aceleração inicial [m/s²];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf A }}$ sendo a arrancada [m/s³].

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⠀⠀Pela equação da aceleração dada no enunciado sabemos que para t = 0 a aceleração será igual à zero para as três coordenadas, ou seja, temos que a aceleração inicial (a₀) para ambas será nula. Derivando a função horária da aceleração de cada coordenada encontraremos a arrancada (A) da partícula para cada uma delas:

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$\blue{\Large\sf~A(t)~\begin{cases}\sf~ = 2 i\\\\ \sf~ = 5 j\\\\ \sf~ = 3 k \end{cases}}$

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⠀⠀Lembremos que a função horária da posição com arrancada é da forma:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a_0 \cdot t^2}{2} + \dfrac{A \cdot t^3}{6}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀Podemos montar 3 funções horárias da posição para cada coordenada:

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$\blue{\Large\sf~S(t)~\begin{cases}\sf~ = 3~i + 8t~i + \dfrac{2t^3}{6}~i\\\\ \sf~ = 8~j + 12t~j + \dfrac{5t^3}{6}~j\\\\\sf~ =  t~k + \dfrac{3t^3}{6}~k\end{cases}}$

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⠀⠀Para t = 5s teremos então:

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$\blue{\large\sf~S(t)~\begin{cases}\sf~ = 3~i + 40~i + 41,67~i = \boxed{\sf ~84,67~[m]~i~}\\\\ \sf~ = 8~j + 60~j + 104,17~j = \boxed{\sf ~172,17~[m]~j~}\\\\ \sf~ = 5~k + 62,5~k = \boxed{\sf ~67,5~[m]~k~}\end{cases}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre movimento com arrancada:

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$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$