Question

A aceleração de uma partícula em movimento de um lado para outro em uma reta é
a(t) = π²cos(πt) m/s² para qualquer t. Se s = 0 e v = 8 m/s quando t = 0, determine s quando t = 1 s.

Answer 1

Resposta:

Explicação:

Sejam $\mathsf{s(t)}$, $\mathsf{v(t)}$ e $\mathsf{a(t)}$ as funções unidimensionais da posição, velocidade e aceleração da partícula, respectivamente.

Pela definição, tem-se:

$\mathsf{v(t) \ = \ \dfrac{ds(t)}{dt} \ \leftrightarrow \ s(t) \ = \ \displaystyle\int v(t) \ dt}$

$\mathsf{a(t) \ = \ \dfrac{dv(t)}{dt} \ \leftrightarrow \ v(t) \ = \ \displaystyle\int a(t) \ dt}$

Para integrarmos $\mathsf{a(t) \ = \ \pi^2\cdot \cos(\pi \cdot t)}$ (em $\mathsf{\frac{m}{s^2}}$) no tempo, temos que fazer a seguinte substituição:

$\mathsf{n \ = \ \pi \cdot t \ \leftrightarrow \dfrac{dn}{dt} \ = \ \pi \ \therefore \ dt \ = \ \dfrac{dn}{\pi} \ (em \ infinitesimais)}$

$\mathsf{v(t) \ = \ \displaystyle\int a(t) \ dt}$

$\mathsf{v(t) \ = \ \displaystyle\int \pi^2 \ \cdot \cos(\underbrace{\mathsf{\pi \cdot t}}_{n}) \ \underbrace{\mathsf{dt}}_{\dfrac{dn}{\pi}}}$

$\mathsf{v(t) \ = \ \displaystyle\int \dfrac{\pi^2}{\pi} \cdot \cos(n) \ dn}$

$\mathsf{v(t) \ = \ \displaystyle\int \pi \cdot \cos(n) \ dn}$

$\mathsf{v(t) \ = \ \pi \cdot \sin(\overbrace{\mathsf{\pi \cdot t}}^ {n}) \ + \ C_{_0}}$

A constante da integração é a velocidade inicial, por definição:

$\mathsf{C_{_0} \ = \ V_{_0} \ = \ 8 \ \dfrac{m}{s} \ (para \ t \ = \ 0 \ s)}$

Repetindo o mesmo processo de substituição, temos:

$\mathsf{s(t) \ = \ \displaystyle\int (\pi \cdot \sin(\pi \cdot t) \ + \ 8) \ \ dt}$

$\mathsf{s(t) \ = \ \displaystyle\int \dfrac{\pi}{\pi} \cdot \sin(n) \ dn \ + \ \displaystyle\int 8 \ \ dt}$

$\mathsf{s(t) \ = \ -cos(\pi \cdot t) \ + \ 8\cdot t \ + \ C_{_1}}$

A segunda constante de integração é a posição inicial, analogamente:

$\mathsf{C_{_1} \ = \ s_{_0} \ = \ 0 \ m \ (para \ t \ = \ 0 \ s)}$

Portanto, temos:

$\mathsf{s(t) \ = \ -cos(\pi \cdot t) \ + \ 8\cdot t}$

Fazendo $\mathsf{t \ = \ 1 \ s:}$

$\mathsf{s(1) \ = \ -cos(\pi) \ + \ 8\cdot 1}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{s(1) \ = \ 9 \ m}}}$