Question

A aceleração de um corpo com movimento retilíneo é dada por a = 4 − t², onde (a) é em m/s² e t em segundos. Obter as expressões para a velocidade e para o deslocamento como funções de tempo, sabendo-se que, quando t = 3 s, v = 2 m/s e x = 9 m

Answer 1

Sabendo que:

$a=\frac{dv}{dt}$

Ficamos com

$dv=a*dt$

$\int~dv=\int~a~dt$

Substituindo o valor de a, dado no exercício

$\int~dv=\int(4-t^2)~dt$

Resolvendo

$v(t)=4t-\frac{t^3}{3}+k_1$

O exercício diz que v(3)=2m/s

Então

$v(3)=2=4*3-\frac{3^3}{3}+k_1\Rightarrow \boxed{k=-1~m/s}$

Portanto a nossa função da velocidade é

$\boxed{\boxed{v(t)=4t-\frac{t^3}{3}-1}}$

Agora sabendo a fórmula da velocidade precisamos encontrar o espaço

$v=\frac{dx}{dt}$

$dx=v*dt$

$\int~dx=\int~v~dt$

Substituindo a função encontrada da velocidade

$\int~dx=\int~\left(4t-\frac{t^3}{3}-1\right)~dt$

$x(t)=2t^2-\frac{t^4}{12}-t+k_2$

O exercício diz que x(3)=9m

$x(3)=9=2*3^2-\frac{3^4}{12}-3+k_2\Rightarrow\boxed{k_2=\frac{3}{4}}$

$\boxed{\boxed{x(t)=2t^2-\frac{t^4}{12}-t+\frac{3}{4}}}$