Question

A)A diferença entre dois números reais é 3 e a soma de seus inversos é 5/18.Quais são esses números?
B)A soma dos quadrados de dois números naturais é 25 e o produto entre esses mesmos números é 12.Quais são esses números?
C)Dois números naturais e consecutivos têm a soma de seus quadrados igual a 85.Sendo x o primeiro valor e y o segundo,teremos que o valor de 2x+3y é:

Answer 1

A)A diferença entre dois números reais é 3 e a soma de seus inversos é 5/18.Quais são esses números?
IDENTIFICANDO
DIFERENÇA(-)
x - y = 3
INVERSO
x = x/1 (inverso) ====> x = 1/x
y = y/1(inverso) ====> y = 1/y
soma
1/x + 1/y = 5/18

RESOLVENDO
{ x - y = 3
{ 1/x + 1/y = 5/18


x - y = 3 ( isolar o (x))
x = 3 + y  ( substituir o (x))


1/x + 1/y = 5/18

    1        1          5
--------+ ------- = --------   (mmc) = (3+y)(y)(18)
(3 +y)    y         18


1((y)(18)) +1((3+y)(18)) = 5((3+y)(y)) 
---------------------------------------------------- FRAÇÃO com igualdade desprezamos o
            (3+y)(y)(18)                        denominador


1((y)(18)) +1((3+y)(18)) = 5((3+y)(y))  FAZER a distributiva (multiplicação))
1(18y)    + 1(54 + 18y) = 5((3y + y²))
      18y + 54 + 18y = 15y + 5y²
18y+18y + 54 = 15y + 5y²
36y + 54 = 15y + 5y²    ( igualar a ZERO)

36y - 15y - 5y² + 54 = 0
21y - 5y² + 54 = 0   arrumar a CASA

-  5y² + 21y + 54 = 0   ( equação do 2º grau) CHAR as raízes

- 5y² + 21y + 54 = 0
a = - 5
b = 21
c = 54
Δ = b² - 4ac
Δ = (21)² - 4(-5)(54)
Δ = 441 + 1080
Δ = 1521  ------------------------> √Δ = 39  porque √1521 = 39
se
Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)
(baskara)
      - b + √Δ
y = ------------------
           2a


y' = - 21 + √1521/2(-5)
y ' = - 21 + 39/-10
y' = +18/-10
y' = - 18/10 (divide AMBOS por 2)
y' = - 9/5  DESPREZAMOS por ser número NEGATIVO
e
y" = - 21 - √1521/2(-5)
y" = - 21 - 39/-10
y" = -60/-10
y" = + 60/10
y" = 6 (ACHAR o valor de  (x))

x = 3+ y
x = 3 + 6
x = 9

assim

esses números SÃO
x = 9
y = 6



B)A soma dos quadrados de dois números naturais é 25 e o produto entre esses mesmos números é 12.Quais são esses números?

DOIS quadrados
x² + y² = 25
PRODUTOS
(x)(y) = 12

RESOLVENDO

{ x² + y² = 25
{ xy = 12

 xy = 12 ( isolar o (x))
x = 12/y  ( substituir o (y))

      x² + y² =25
(12/y)² + y² = 25

   12
(-------)² + y² = 25
    y

  12²
(--------) + y² = 25
   y²

   144
(---------) + y² = 25   (mmc) = y²
    y²

1(144) + y²(y²) = 25(y²)
--------------------------------- FRAÇÃO com igualdade DESPREZAMOS o 
           y²                     denominador

1(144) + y²(y²) = 25(y²)

144  + y⁴ = 25y²   ( igualar a ZERO))

144 + y⁴ - 25y² = 0   arrumar a CASA

y⁴ - 25y² + 144 = 0   equação BIQUADRADA
                              FAZER artificio
                              y⁴ = x²
                              y² = x
 
y⁴ - 25y² + 144 = 0
x² - 25x + 144 = 0 
a = 1
b = - 25
c = 144
Δ = b² - 4ac
Δ = (-25)² - 4(1)(144)
Δ = 625 - 576
Δ = 49 -----------------------------> √Δ = 7 porque √49 = 9
(baskara)
       - b + √Δ
x = ------------------
            2a

x' = - (-25) + √49/2(1)
x' = + 25 + 7/2
x' = 32/2
x' = 16
e
x" = -(-25) - √49/2(1)
x" = + 25 - 7/2
x" = 18/2
x" = 9

EQUAÇÃO BIQUADRADA tem (4) raízes

voltando no ARTIFICIO
y² = x
para
x = 9
y² = x
y² = 9
y = + √9    lembrando que √9 = 3
y= + 3
E
para
x = 16
y² = x
y² = 16
y = + √16    LEMBRANDO que √16 = 4
y = + 4

assim

quando
y' = + 3
y" = - 3
y'" = + 4
y"" = - 4

DESPOREZAMOS os números NEGATIVOS

esse números SÃO
x = 4 quando y = 3
x = 3 quando y = 4 

C)Dois números naturais e consecutivos têm a soma de seus quadrados igual a 85.Sendo x o primeiro valor e y o segundo,teremos que o valor de 2x+3y é:

dois números CONSECUTIVOS
1º = X
2º= y+ 1
SOMA DE SEUS quadrados
(x)² +( x+1)² = 85

X² + (x+1)(x+1) = 85
x² + x²+ 1x+ 1x + 1 = 85
x² + x² + 2x + 1
2X² + 2x + 1 - 85 = 0

2x² + 2x - 84 = 0 
a = 2
b = 2
c = - 84
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4(2)(-84)
Δ = 4 + 672
Δ = 676 ---------------------------> √Δ = 26 porque √676 = 26
se
Δ > 0 ( DUAS raízes DIFERENTES)
(baskara)
          - b + √Δ
x = ------------------------
             2a

x' = - 2 - √676/2(2)
x' = - 2 - 26/4
x' = - 28/4
x' = - 7   DESPREZAMOS por ser número negativo
e
x" = - 2 + √676/2(2)
x" = - 2 + 26/4
x" = +24/4
x" = 6

então
para
x = 6
2x + 3y = 
3y = - 2x
3y = -2(6)
3y = - 12
y = - 12/3
y = - 4

então x = 6
         y = - 4