Question

(A) a afirmação (1) isolada é suficiente e a afirmação (2) isolada não é suficiente.(B) a afirmação (2) isolada é suficiente e a afirmação (1) isolada não é suficiente.(C) as afirmações juntas são suficientes, mas nenhuma afirmação isolada é suficiente.(D) cada informação isolada é suficiente.(E) as duas informações juntas não são suficientes.Para cada questão, escolha a solução correta.

Um elevador faz soar um alarme sempre que a soma dos pesos dos passageiros excede 800 kg. Onze passageiros entraram no elevador, cada passageiro pesando 10 kg a mais ou 5 kg a menos do que o passageiro seguinte. O alarme do elevador soou?
(1) O primeiro passageiro pesava 70 kg.(2) O último passageiro pesava 50 kg.

Answer 1

Como a interpretação desse problema tá ambígua eu vou analisar as duas interpretações. Felizmente a resposta saí apenas com uma delas :D

Como escrevi no meu comentário, não deu pra entender claramente a relação entre o peso dos passageiros. Identificando-os por $x_i$, com $1\leq i\leq11$, temos os seguintes casos:

I- $x_n = x_{n+1}+d_n$ (o peso da pessoa que entrou é 10kg a mais/5kg a menos que o da próxima pessoa a entrar; $d_n$ é a diferença do peso)

(i) Nesse caso temos o seguinte:

$x_{10}= x_{11}+d_{10} \\ x_9= x_{10}+d_{9} = x_{11}+d_9+d_{10}\\ x_8= x_{9}+d_{8} = x_{11}+d_8+d_9+d_{10}\\ \vdots \\ x_1 = x_{11}+d_1+d_2+\cdots + d_{10}$

Usando as duas informações dadas, que $x_1=70$ e $x_{11}=50$, encontramos que

$\underline{d_1+d_2+\cdots+d_{10} = 20}$

(ii) Perceba que cada um dos $d_i$ vale ou 10 ou -5. Seja D a quantidade de vezes que aparece o valor 10 entre os $d_i$ e C a quantidade de vezes que aparece -5; perceba, ainda, que tanto C e D são números naturais, uma vez que não existe uma quantidade fracionária de vezes que dada coisa aparece.
Note, também, que C+D = 10, que é a quantidade de variáveis da nossa equação. Pelo que foi apresentado aqui é possível montar o sistema:

$\left\{\begin{array}{l}10D-5C = 20\\ D+C=10\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}10D-5C = 20\\ 5D+5C=50\end{array}\right.$

Resolvendo esse sistema encontramos que $D=\frac{14}{3}$, um número fracionário, que não convém para o problema, logo esse caso não é válido.

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II- $x_{n+1} = x_{n}+d_n$ (o peso da pessoa que vai entrar é 10kg a mais/5kg a menos do que a pessoa que acabou de entrar)

(i) Procedendo como no caso anterior encontramos o seguinte

$x_{2}= x_{1}+d_{1} \\ x_3= x_{2}+d_{2} = x_{1}+d_1+d_{2}\\ x_4= x_{3}+d_{3} = x_{1}+d_1+d_2+d_{3}\\ \vdots \\ x_{11} = x_{1}+d_1+d_2+\cdots + d_{10}$

Usando, mais uma vez, as duas informações dadas temos que

$\underline{d_1+d_2+\cdots+d_{10} = -20}$

(ii) Como no caso anterior, chamemos, respectivamente, de D e C a quantidade de vezes que aparece 10 e -5 entre as variáveis $d_i$. também temos, como no caso anterior, que C+D = 10.

$\left\{\begin{array}{l}10D-5C = -20\\ D+C=10\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}10D-5C = -20\\ 5D+5C=50\end{array}\right.$

Resolvendo o sistema acima encontramos que D=2 e C=8. Isso quer dizer que apenas duas pessoas que vão entrar nesse elevador são mais pesadas que a que acabara de entrar.

(iii) Somando todas as expressões em (i) membro a membro encontramos a seguinte expressão

$x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{11}=11x_1+10d_1+9d_2+8d_3+\cdots+2d_9+d_{10}\\ S= 770+10d_1+9d_2+8d_3+\cdots+2d_9+d_{10}$

Chegamos a um beco sem saída, já que não é possível saber quais os valores de cada $d_i$? Não, pois queremos saber apenas qual o valor máximo de S, a soma dos pesos de todos os passageiros.
Sabemos que 8 dos 10 $d_i$ têm valor -5 e os outros 2 têm valor 10. Sejam $a$ e $b$ os coeficientes onde $d_i=10$. Por exemplo, se $a=6$ e $b=2$ temos que $d_5=d_9=10$. Dito isso, podemos reescrever a soma como

$S=770-5(55-a-b)+10(a+b)^{(*)} \\ S=770-275+5(a+b)+10(a+b)\\ \underline{S=495+15(a+b)}$

A grande chave da questão está em entender de onde surge aquela expressão (*). Se todos os $d_i$ fossem iguais a -5, teríamos S = 770 - 5*55. Esse 55 é a soma de todos os números de 1 a 10, os coeficientes dos $d_i$. Porém o valor de $d_i$ de dois desses coeficientes, $a$ e $b$, não é -5, daí é necessário tirá-los da soma. Esses dois coeficientes acompanham 10, a outra parte lá da soma.

(iv) Agora que temos uma expressão mais simples e fácil de trabalhar para calcular a soma dos passageiros do elevador podemos tirar nossas conclusões. Queremos saber se o alarme soou, ou seja, se $S\geq800$. Para isso, temos que saber o valor máximo de S. Para sabermos o valor máximo de S basta maximizarmos a soma $a+b$, sabendo que $a$ e $b$ são números distintos maiores que 1 e menores que 10. O maior valor para a soma sob essas condições é 10+9 = 19, logo

$S_{MAX} = 495+15.19 = 495+285\\ \boxed{S_{MAX}=780}$

Portanto, mesmo no pior dos cenários com as duas informações dadas, a soma máxima não ultrapassa os 800kg, logo o alarme não soou.
Perceba, ainda, que dada apenas uma das duas informações isoladamente não se poderia chegar a lugar algum, pois foi necessário saber o valor de $x_{11}-x_{1}$ para a resolução.

R: (c)