Question

a
3. Resolva o sistema de equação do 2.° grau a seguir,
sendo U = R XR:
(x + y = 3
1x²+2y²=9

Answer 1

✅ Resolver um sistema de equações - quando possível - significa encontrar os pontos de interseção entre as curvas envolvidas.

Se nos foi  dadas as equações de uma reta e de uma elipse que são respectivamente:

          $\large\begin{cases}r: x + y = 3\\\epsilon: x^{2} + 2y^{2} = 9 \end{cases}$

Neste caso, temos um sistema de equações do segundo grau. Para iniciar a resolução do referido sistema devemos Isolar "y" n  1ª equação, temos:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}y = 3 - x \end{gathered}$

Substituindo o valor de "y" na segunda equação, temos:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} + 2\cdot[(3 - x)^{2}] = 9 \end{gathered}$

  $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} + 2\cdot[9 - 6x + x^{2}] = 9 \end{gathered}$

   $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} + 18 - 12x + 2x^{2} = 9 \end{gathered}$

     $\large\displaystyle\begin{gathered}3x^{2} - 12x + 18 - 9 = 0 \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}3x^{2} - 12x + 9 = 0 \end{gathered}$

Chegamos a uma equação do segundo grau, cujos coeficientes são:

                $\large\begin{cases}a = 3\\b = -12\\c = 9 \end{cases}$

Calculando o valor do delta, temos:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c\end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= (-12)^{2} - 4\cdot3\cdot9\end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= 144 - 108 \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= 36 \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\Delta = 36 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2\cdot a} \end{gathered} }$

              $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-(-12)\pm\sqrt{36} }{2\cdot3} \end{gathered} }$

              $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{12\pm6}{6} \end{gathered}$

Obtendo as raízes:

       $\Large\begin{cases}x' = \frac{12 - 6}{6} = \frac{6}{6} = 1\\x'' = \frac{12 + 6}{6} = \frac{18}{6} = 3 \end{cases}$

Desta forma obtemos as abscissas dos pontos de interseção e o conjunto solução é:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}S_{x} = \{1, 3\} \end{gathered}$

Agora devemos encontrar as ordenadas dos pontos de interseção. Para isso, devemos substituir os valores de "x" na 1ª equação. Então:

   $\large\displaystyle\begin{gathered}x' = 1 \Longrightarrow x' + y' = 3 \Longrightarrow 1 + y' = 3\end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}\Longrightarrow y' = 3 - 1\Longrightarrow y' = 2 \end{gathered}$

   $\large\displaystyle\begin{gathered}x'' = 3\Longrightarrow x'' + y'' = 3\Longrightarrow 3 + y'' = 3 \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}\Longrightarrow y'' = 3 - 3\Longrightarrow y'' = 0 \end{gathered}$

Agora podemos obter os pontos de interseção, que são:

       $\large\begin{cases}I' = (x', y') = (1, 2) \\I'' = (x'', y'') = (3, 0)\end{cases}$

✅ Portanto, a solução do sistema de equações são os pontos de interseção são:

                   $\large\begin{cases}I'(1, 2)\\I''(3, 0) \end{cases}$

OBS: Esta questão se refere à interseção entre uma elipse e uma reta. Neste caso, a reta é secante à elipse. Pois, a reta corta a elipse por dois pontos.

Saiba mais:

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Solução gráfica: