Question

a. ∬2x-y dA onde D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2.

Answer 1

Cambio de variable
                                  $x=r\cos t\; ,\; y=r\sin t$
donde
         $G=\{(r,t):0\ \textless \ r\ \textless \ 2\;,\; 0\leq t\ \textless \ 2\pi\}$

Entonces

$\displaystyle \iint\limits_{D}2x-y\;dA=\iint\limits_{G}(2r\cos t-r\sin t)\cdot r\;dr\,dt\\ \\ \iint\limits_{D}2x-y\;dA=\iint\limits_{G}(2\cos t-\sin t)\cdot r^2\;dr\,dt\\ \\ \iint\limits_{D}2x-y\;dA=\int_{0}^2\int_{0}^{2\pi}(2\cos t-\sin t)\cdot r^2\;dt\,dr\\ \\ \iint\limits_{D}2x-y\;dA=\int_{0}^2r^2\,dr\cdot \int_{0}^{2\pi}(2\cos t-\sin t)\;dt\\ \\ \iint\limits_{D}2x-y\;dA=\dfrac{8}{3}\cdot (0)\\ \\ \\ \boxed{\iint\limits_{D}2x-y\;dA=0}$