Question

A- [2 -1 3 ] B- [23]
-2 0
[-2 0 -3] [1 4]

Determine B.A

Answer 1

Tem-se as matrizes:

$A = \left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\-2&0&-3\end{array}\right]$

$B = \left[\begin{array}{cc}2&3\\-2&0\\1&4\end{array}\right]$

E deseja-se obter a matriz produto B.A.

Primeiramente, vamos checar se realmente é possível realizar a multiplicação. O produto de duas matrizes só é possível quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.

A matriz B tem 3 linhas e 2 colunas, ou seja, é uma matriz 3x2, enquanto a matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, ou seja, é uma matriz 2x3. Como podemos perceber, o número de colunas da matriz B (2) é igual ao número de linhas da matriz A (2), então podemos realizar o produto.

A matriz produto B.A possuirá o número de linhas da primeira matriz, ou seja B e o número de colunas da segunda matriz, ou seja A. Logo, a matriz B.A possuirá 3 linhas e 3 colunas, sendo portanto uma matriz quadrada. Vamos chamar cada elemento da matriz B.A de $c_{ij}$, sendo o i se referindo à linha que o elemento está presente, enquanto o j se refere à coluna. Teremos então:

$B \cdot A = \left[\begin{array}{cc}2&3\\-2&0\\1&4\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\-2&0&-3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right]$

O elemento $c_{ij}$ será obtido pelo somatório dos produtos dos elementos da linha i pelos respectivos elementos da coluna j, na ordem em que forem aparecendo. Por exemplo, o elemento $c_{21}$ será obtido utilizando os elementos da linha 2 da matriz B e os elementos da coluna 1 da matriz A:

$c_{21} = (-2)(2) + (0)(-2) = -4 + 0 = -4$

Aplicando a mesma ideia para os outros elementos, teremos:

$B \cdot A = \left[\begin{array}{cc}2&3\\-2&0\\1&4\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\-2&0&-3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right] = \\\\\left[\begin{array}{ccc}(2)(2) + (3)(-2)&(2)(-1) + (3)(0)&(2)(3) + (3)(-3)\\(-2)(2) + (0)(-2)&(-2)(-1) + (0)(0)&(-2)(3) + (0)(-3)\\(1)(2) + (4)(-2)&(1)(-1) + (4)(0)&(1)(3) + (4)(-3)\end{array}\right] =$

$\left[\begin{array}{ccc}4 + (-6)&(-2) + 0&6 + (-9)\\-4 + 0&2 + 0&-6 + 0\\2 + (-8)&-1 + 0&3 + (-12)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2&-2&-3\\-4&2&-6\\-6&-1&-9\end{array}\right]$