Question

9o) (PUC-SP) Na função exponencial y = 2^2x−4, determine os valores de x para os quais 1 < y < 32.


a) S = { x ∈ R; 2 < x < 9}

b) S = { x ∈ R; 1 < x < 9}

c) S = { x ∈ R; 1/2 < x < 9}

d) S = { x ∈ R; 2 < x < 9/2}

e) S = { x ∈ R; 1/2 < x < 9/2}


Se possível com os cálculos, por favor...

Answer 1

Temos uma equação exponencial definida por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y = {2}^{2x - 4}$

A questão quer saber para quais valores de x, a imagem tem um valor entre 1 < y < 32. Primeiro vamos substituir essa função na desigualdade:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1 < 2 {}^{2x - 4} < 32$

Assim como em uma função exponencial, devemos deixar todas as bases iguais. Vamos iniciar fatorando o número 32:

$32 = 2 \: . \: 2 \: . \: 2 \: . \: 2 \: . \: 2 = 2 {}^{5}$

Substituindo essa informação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1 < 2 {}^{2x - 4} < 2 {}^{5}$

Agora devemos lembrar que qualquer número elevado a 0 é igual a 1, ou seja, podemos dizer que 2⁰ = 1. Fazendo isso temos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 2 {}^{0} < 2 {}^{2x - 4} < 2 {}^{5}$

Agora vamos lembrar da propriedade:

$A^x\> A^y = x >y, \: \forall A > 1 \\ ou \\ A^x\ < A^y = x < y, \: \forall A > 1$

Como a nossa base é maior que 1, então vamos manter os sinais. Então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 0 < 2x - 4 < 5 \:$

Agora basta resolver essa inequação simultânea:

$0 < 2x - 4 < 5 \: \to \: 4 < 2x < 9 \\ \\ \frac{4}{2} < x < \frac{9}{2} \: \to \: \boxed{ 2 < x < \frac{9}{2} }$

Podemos concluir que:

Resposta: letra d)