Question

99 Pontos

Calcule a soma:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} (...)$

Detalhe, a soma não se resume apenas a estes quatro termos, mas sim ao infinito, sendo uma progressão que converge em um unico ponto

Answer 1

$S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$

Que essa série converge, é só fazer o seguinte

$lim_{x\to\infty}\frac{x}{2^x}$

$lim_{x\to\infty}\frac{x}{2^x}=0$

Portanto ela converge. Como ele converge, podemos determinar um intervalo em que a função pode realmente convergir.

temos que usar o raio de convergência, como é?!

$R=lim_{x\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

Agora eu vou "inventar" uma fórmula diferente para essa função, podemos observar que ela segue dois parâmetros, uma parte para os ímpares e outra parte para os pares, desta forma, vamos escrever duas sequências, uma será nosso $a_n$ e a outra será nosso $a_{n+1}$

$S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\overbrace{\frac{2n-1}{2^{2n-1}}}^{a_n}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\overbrace{\frac{2n}{2^{2n}}}^{a_{n+1}}$

Agora é só substituir no limite, só que vou trocar o n por x

$R=lim_{x\to\infty}\left|\frac{\frac{2n-1}{2^{2n-1}}}{\frac{2n}{2^{2n}}}\right|$

$R=lim_{x\to\infty}\left|\frac{2n-1}{2^{-1}*2n}\right|$

$R=lim_{x\to\infty}\left|\frac{2n}{2^{-1}*2n}-\frac{1}{2^{-1}*2n}\right|$

Substituindo a tendência temos

$R=lim_{x\to\infty}\left|2-\frac{1}{2^{-1}*2n}\right|$

$R=lim_{x\to\infty}\left|2-0\right|$

$\boxed{\boxed{R=2}}$