Question

( 98 pontos ) Matriz Inversa

Sendo A = $\left[\begin{array}{ccc}x&-x\\1&0\\\end{array}\right]$, com x ∈ R, determine os valores de x para os quais $A + A^{-1} = I_2$, sendo $I_2$ a matriz identidade de ordem 2.

Answer 1

Resposta:

det A =x*0-(-x)*1=x    ...teremos inversa se x diferente de 0

************************************

Se A   =   a   b

               c    d

det =a*d-c*b≠0

A⁻¹ = 1 /det A  *    (d     -b)

                            (-c     a)

**********************************************

A⁻¹  = 1/det A    *    0       x

                             -1       x

A⁻¹  =   0     x²

           -x    x²

x     -x    *   0     x²     =   1      0

1      0        -x     x²          0      1

x²=1

x³-x³=0

x²=1

x=-1  ou x=+1

Answer 2

Uma matriz é inversível quando seu determinante é não -nulo.

Suponha que você tenha uma matriz do tipo

B= (m n)

(p q)

Então B⁻¹ existe ⇿ det B=mq-pn ≠0.

A= (x -x)

(1 0)

Det A= x.0 —1.(—x)

Det A= x≠0

${A}^{ - 1} = \frac{1}{det A }.adj A$

Vamos descobrir a matriz cofatora.

A=(0 -1)

(x x)

Vamos descobrir a matriz adjunta.

$adjA = {cofA }^{T}$

adj A = (0 x)

(-1 x)

Logo

A⁻¹ = 1/x (0 x)

(-1 x)

A⁻¹= (0 1)

(-1/x 1)

A +A⁻¹

= (x -x) +(0 1) = (1. 0)

(1 0) (-1/x 1) = (0. 1)

(x 1-x) = (1 0)

(1-1/x 1) (0 1)

$1 - \frac{1}{x} = 0 \\ \frac{1}{x} = 1 \\ x = 1$

1-x=0

-x=-1

x=1