Question

95) Considere uma sequência infinita de quadrados
(Q1, Q2, Q3, ...) em que, a partir de Q2, a medida
do lado de cada quadrado é a décima parte da
medida do lado do quadrado anterior. Sabendo
que o lado de Q1 vale 10 cm, determine:
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da
sequência;
b) a soma das áreas de todos os quadrados da
sequência.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Soma dos elementos de uma PG infinita

=>> A soma dos elementos de uma PG infinita é dada por:

$sm = \frac{a_1}{1 - r}$

r=> Razão

a1=> Primeiro Termo

=>> A razão é dada por:

$a_n \div a_{(n - 1)} \\ \\ a_1 \div a_2$

"...a medida

a medidado lado de cada quadrado é a décima parte da

medida do lado do quadrado anterior..."

=>> Se Q1 tem lado igual a 10 cm , Q2 terá lado:

$Q_2=10 \times \frac{1}{10} \\ \\ Q_2=1\: cm$

Na questão a tratamos de Perímetro.

$P_1=4\times 10 \\ \\ P_1=40\:cm \\ \\ \\ P_2=4\times1 \\ \\ P_2=4 \cm$

Vamos encontrar a razão entres os Perímetros:

$r=P_2 \div P_1 \\ \\ r=4\div 40 \\ \\ r= \frac{1}{10}$

A) =>Calculamos agora a soma de todos os termos:

$sm = \frac{40}{1 - \frac{1}{10} }$

$sm = \frac{40}{ \frac{10 - 1}{10} }$ $\checkmark\boxed{\boxed{sm = \frac{400}{9} }}$

B) Vamos calcular a área de Q1 e Q2:

$Q_1=L^{2}$

$Q_1=10^{2}$

$Q_1=100\: cm^{2}$

$Q_2=1^{2}$

$Q_2=1\: cm^{2}$

Vamos encontrar a razão entres as áreas:

$r = \frac{Q_2}{Q_1}$

$r = \frac{1}{100}$

=> Calculamos agora a soma das áreas:

$sm = \frac{a_1}{1 - r} \\ \\ sm = \frac{100}{ 1 - \frac{1}{100} } \\ \\ sm = \frac{100}{ \frac{99}{100} } \\ \\\checkmark\boxed{\boxed{ sm = - \frac{10.000}{99} }}$