Question

93- 2. Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x² − 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² − 40x − 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a



5 lotes

6 lotes

7 lotes

8 lotes

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Answer 1

Resposta:

7 lotes.

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

$Lucro = Valor - Custo\\\\L(x)=V(x)-C(x)\\\\L(x)=(3x^2-12x)-(5x^2-40x-40)\\\\L(x)=-2x^2+28x+40$

Onde x é o número de lotes e L é o lucro.

Forma geral de equações do 2° grau:

$ax^2+bx+c=0$

No nosso caso:

$a=-2,b=28,c=40$

Primeiro, veja que temos o coeficiente a (que acompanha o $x^2$) menor que zero. Isso indica que a concavidade da parábola é para baixo e, portanto, temos um ponto de máximo.

Se calcularmos o x do vértice encontraremos o número de lotes associado ao lucro máximo (que é o que a questão pede).

Se calcularmos o L do vértice (ou y do vértice) encontraremos o valor do lucro máximo em si.

Logo:

$x_v=\frac{-b}{2a}\\\\x_v=\frac{-28}{2*(-2)}\\\\x_v=7$

Portanto, o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 7.

Valeu!

Answer 2

A quantidade de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é 7 lotes.

• Considere que o lucro obtido pela empresa seja a diferença entre o faturamento mensal resultante da venda destes lotes e o custo mensal de produção. Do enunciado tem-se:

Faturamento mensal resultante da venda destes lotes: v(x) = 3x² − 12x

Custo mensal de produção: c(x) = 5x² − 40x − 40

Quantidade de lotes do produto produzidos mensalmente: x

• Subtraia c(x) de v(x) para obter a função ℓ(x) que representa o lucro.

ℓ(x) = v(x) − c(x)

ℓ(x) = 3x² − 12x − (5x² − 40x − 40)

ℓ(x) = 3x² − 12x − 5x² + 40x + 40

ℓ(x) = −2x² + 28x + 40

• Observe que a função que representa o lucro é uma função do segundo grau cujo coeficiente de x² é negativo e portanto a função é representada por uma parábola de concavidade para baixo.

• O valor máximo de uma parábola de concavidade para baixo é obtido em seu vértice, portanto para determinar o valor de x para um lucro máximo determine a abscissa do vértice (xᵥ) para obter a quantidade (x) de lotes do produto produzidos mensalmente para um lucro máximo.

• Os coeficientes da função ℓ(x) são:

a = −2

b = 28

c = 40

• A abscissa do vértice é obtida por:

$\large \sf x_v = \dfrac{-b}{2a}$  ⟹ Substitua os valores dos coeficientes.

$\large \sf x_v = \dfrac{-28}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{-28}{-4}$

$\large \sf x_v = 7$

A quantidade de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é 7 lotes.

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