Question

9. (UEPG) A sequência de números reais a1, a2, a3 e a4 forma,
nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos seus
termos é 130. A sequência de números reais a1, a2, b1 e b2 forma,
nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. A partir do
que foi exposto, assinale o que for correto.
01) A soma dos termos a4 + b2 = 4a3.
02) A razão da progressão aritmética é 13.
04) A soma dos termos da progressão geométrica é 195.
08) Nas progressões têm-se que a4 + b1 = 3a2.​

Answer 1

$\text{PA} \to (\text a_1,\text a_2, \text a _3, \text a_4)$

$\text a_2 = \text a_1 + \text r$

$\text a_3 = \text a_1 + 2.\text r$

$\text a_4 = \text a_1 + 3.\text r$

Soma dos termos :

$\displaystyle \text S_\text n = \frac{[2.\text a _1 +(\text n-1).\text r].\text n }{2}$

A soma dos 4 termos é igual a 130, logo :

$\displaystyle 130 = \frac{[2.\text a _1 +(\text 4-1).\text r].4 }{2}$

$\boxed{\displaystyle 65 = 2.\text a _1 +3.\text r}$

Agora temos uma PG de razão 2, com os seguintes termos :

$(\text a_1, \text a_2,\text b_1,\text b_2)$

$\text a_2 = \text a_1.2$

$\text a_1 + \text r = 2.\text a_1 \to \boxed{\text a_1 = \text r}$

Sabendo disso vamos usar a informação lá de cima :

$\displaystyle 65 = 2.\text a _1 +3.\text r$

$\displaystyle 65 = 2.\text r +3.\text r$

$5.\text r = 65 \to \boxed{\text r = 13}$

Agora vamos reescrever nossa P.A :

$\text a_1 = 13$ , $\text a_2 = 26$, $\text a_3 = 39$, $\text a_4 = 52$

montando a P.G :

$\text a_1 = 13,\ \text a_2 = 26 ,\ \text b_1 = 52, \ \text b_2 = 104$

Analisando as alternativas  :

$01) \ \text a_4 + \text b_2 = 4.\text a_3$

$52 + 104 = 4.39 \to \boxed{156 = 156}\checkmark$

Alternativa 1 está correta.

$02)\ \boxed{ \text r = 13}\checkmark$

Alternativa 2 está correta.

$04) \text a_1+\text a_2 + \text b_1 + \text b_2 = 195\ ?$

$\boxed{13+26+52+104 = 195}\checkmark$

Alternativa 4 está correta.

$08) \ \text a_4 + \text b_1 = 3.\text a_2$

$\text 52 + 52 = 3.26 \to \boxed{104 = 78 \to {\bold{\text{FALSO}}}}$

Alternativa 8 está incorreta.