Question

9. Se o polinômio p(x) = x³ + ax² - 13x + 12 tem x = 1 como uma de suas raízes, quais são as outras raízes? *

Answer 1

Resposta:

            S = {- 4, 1, 3}

Explicação passo a passo:

9. Se o polinômio p(x) = x³ + ax² - 13x + 12 tem x = 1 como uma de suas raízes, quais são as outras raízes? *

             p(x) = x³ + ax² - 13x + 12

p(x), terceiro grau, tem 3 raízes

Sendo x = 1 uma das raízes, temos

             p(1) = 0

                   1^3 + a.1^2 - 13.1 + 12 = 0

                   1 + a - 13 + 12 = 0

                   a = - 1 + 13 - 12

                   a = 0

Com esse definido,

           p(x) = x^3 - 13x + 12

Para determinar suas raízes, p(x) será nulo

                   x^3 - 13x + 12 = 0

Fatorando

                    (x - 3)(x - 1)(x + 4) = 0

Cada termo será nulo

                    x - 3 = 0

                                      x1 = 3

                    x - 1 = 0

                                      x2 = 1

                    x + 4 = 0

                                      x3 = - 4

AS OUTRAS RAÍZES SÃO 3 E - 4

Answer 2

Resposta:

$r_{2}=-4$    e     $r_{3}=3$

( ver em anexo gráfico comprovando os valores obtidos )

Explicação passo a passo:

Dados:

p(x) = x³ + ax² - 13x + 12

x = 1 raiz do polinómio

Pedido:

Quais as outras raízes

Observação 1 → Equação completa do terceiro grau

ax³ + bx² +cx + d = 0

a ; b ; c ; d ∈ |R      e    a ≠ 0

Observação 2 → O que é uma raiz de um polinómio?

É um valor que anula esse polinómio.

Exemplo

se x = 1 raiz do polinómio     então    P( 1 ) = 0

Fazendo este cálculo vamos encontrar o valor de " a "

1³ + a * 1² - 13 * 1 + 12 = 0

a + 1 - 13 + 12 = 0

a = - 13 + 13

a = 0

O polinómio fica

x³ + 0 * x² - 13x + 12

Observação → O método de resolução é o indicado para equações do 3º

grau, em exames ENEM.

Existem outros métodos.

Podemos usar as Relações de Girard onde   $r_{1}$   , $r_{2}$  e  $r_{3}$ são as raízes de

uma equação do 3º grau

a =    1  

b =   0

c = - 13

d =   12

Estas três, aqui abaixo, são as Relações de Girard

$r_{1} +r_{2} +r_{3} =-\dfrac{b}{a}$                

$r_{1} *r_{2} +r_{1} *r_{3}+r_{2} *r_{3} =\dfrac{c}{a}$

$r_{1} *r_{2} *r_{3} =-\dfrac{d}{a}$

É caso  particular porque temos um dos coeficientes, b = 0 .

Por isso apenas uso a primeira e a terceira Relação de Girard

$r_{1} +r_{2} +r_{3} =-\dfrac{0}{1}$

$r_{1} +r_{2} +r_{3} =0$

Atendendo que uma raiz é 1

$1*r_{2} *r_{3} =-\dfrac{12}{1}$

$r_{2} *r_{3} =-12$

Temos esta situação:

→ Uma raiz é 1

→ A soma das raízes dá zero  

→ O produto de duas raízes dá  " - 12 "

Raciocinemos:

Quando dois valores multiplicados deram " - 12"  estudemos as

possibilidades:

1ª hipótese

1  e  - 12

Somemos as raízes

1 + 1 - 12 = - 10   é  diferente de zero, rejeitar

2ª hipótese

- 1 e  12

Somemos as raízes

1 - 1 + 12 = 12    é  diferente de zero, rejeitar

3ª hipótese

2 e - 6

Somemos as raízes

1 + 2 - 6 = - 3      é  diferente de zero, rejeitar

4ª hipótese

- 2 e  6

Somemos as raízes

1 - 2 + 6 =  5        é  diferente de zero, rejeitar

5ª hipótese

3  e  - 4

Somemos as raízes

1 + 3 - 4 =  0

Perfeito .

As outras raízes são 3 e  - 4

Este raciocínio que foi aqui escrito podia ser feito mentalmente.

Apenas o escrevi para perceber-se bem o raciocínio.

Observação 3 → Sinal " menos " antes de parêntesis

Quando se tem um sinal "menos" atrás de um parêntesis, quando o

parêntesis é retirado, os termos dentro dele são jogados cá fora com sinal

trocado.

Exemplo

- ( - 1 ) = + 1

Verificação

1 +  3 - 4 = 0

4 - 4 = 0

0 = 0            verificado e correto

Estes cálculos eu os fiz assim porque tenho boa capacidade mental , não

necessitando de escrever estes cálculos.

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No seu caso era de resolver deste modo aqui em baixo

Com as equações

{ $1 +r_{2} +r_{3} =0$

{ $r_{2} *r_{3} =-12$

Temos um sistema de duas equações, com duas incógnitas.

Algo que já sabe resolver .

Resolução do sistema pelo Método de Substituição

{ $r_{2} =-r_{3}-1$

{ $(-r_{3}-1)*r_{3} =-12$

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

algébrica ( vulgarmente chamada de " Regra do Chuveirinho )

{ $r_{2} =-r_{3}-1$

{ $-(r_{3})^2-r_{3} =-12$

Nota : A segunda equação ,para mais fácil a escrita dos cálculos passo a

escrever  $r_{3} =x$ .

- x² - x = - 12       equação do 2º grau

- x² - x + 12 = 0

Fórmula de Bhaskara  

x = ( - b ± √Δ ) /2a           com Δ = b² - 4 * a * c         e   a ≠ 0

a = - 1

b = - 1

c = 12

Δ = ( - 1 )² - 4 * ( - 1 ) * 12  = 1 + 48 = 49

√Δ = √49 = 7

x1 = ( - ( - 1 ) + 7 ) /(2 * ( - 1 ) )

x1 = ( 1 + 7 ) / ( - 2 )

x1 = 8 / ( - 2 )

x1 = - 4

x2 = ( + 1 - 7 ) /( - 2 )

x2 = - 6 / ( - 2 )

x2 = 3

Necessário verificar que estes valores validam a 1ª equação

1 - 4 + 3 = 0

4 - 4 = 0

0 = 0           verificado e verdadeiro

Estão encontradas as outras duas raízes. São 3 e - 4 .

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Segundo método - Jogar valores no polinómio até acertar ( * *)

Dito assim é o processo menos do agrado de Matemáticos que preferem

ter sempre resoluções fundamentadas.

Sabemos que 1 é um dos zeros.

x³  - 13x + 12 = 0

Façamos tentativas com números positivos

x = 2

2³ - 13 * 2 + 12 = 0

8 - 26 + 12 = 0

20 - 26 = 0              

- 6 = 0                Falso ; 2 não serve para raiz

x = 3

3³ - 13 * 3 + 12 = 0

27 - 39 + 12 = 0

39 - 39 = 0

0 = 0                     Verdadeiro , 3 raiz da equação e do polinómio

x = 4

4³ - 13 * 4 + 12 = 0

64 - 42 + 12 = 0

76 - 42 = 0

34 = 0                      Falso ; 4 não serve para raiz

Com x = 4 , já temos no 1º membro um valor positivo "grande"

Passemos então para os valores negativos

Não vou testar o " - 1 " ; " - 2 " nem o " - 3 " pois o raciocínio é o mesmo.

Passo diretamente para " - 4 "

(-4)³ - 13 * (- 4 ) + 12 = 0

- 64 + 52 + 12 = 0

- 64 + 64 = 0

0 = 0                        Verdadeiro , 3 raiz da equação e do polinómio

( * * ) Este método é interessante mas tem o grave " problema":

→ e se as outras raízes são frações  ou com radicais.

Forte Sugestão

Use as Relações de Girard e resolva um sistema de 3 equações com 3 incógnitas.

Este aqui simplificou-se, mas pode não ser assim.

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    ( ∈ )  pertence a       ( |R ) conjunto números reais

( ≠ ) diferente de