Question

9) Se (a,b,c) representa a terna solução do sistema.​

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de soluções possíveis. Lembrando que a solução das equações é encontrado pela substituição das variáveis por valores.

Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).

Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas, o que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0).

Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução, o que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0).

Como a questão nos informa que esse sistema possui uma terna, ele é Possível e Determinado, então não precisamos se preocupar em saber o tipo de sistema.

Vamos começar calculando o DETERMINANTE global (D)

I) Determinante (D):

Para isso vamos usar apenas os números que está antes da igualdade.

$\begin{bmatrix}1&1&1 \\ 1&1& - 1 \\ 2&3&2\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}1&1 \\ 1&1 \\ 2&3\end{bmatrix} \\ \\ D = Diagonal \: P - Diagonal \: S \\ D = 1.1.2 + 1.( - 1).2 + 1.1.3 - (2.1.1 + 3.( - 1).1 + 2.1.1) \\ D = 2 - 2 + 3 - (2 - 3 + 2) \\ D = 3 - ( 1) \\ \boxed{ D =2}$

Sabendo o valor do DETERMINANTE global, vamos partir para os cálculos dos determinantes das incógnitas "x" e "y", não precisaremos calcular o determinante de "z", pois podemos substituir os valores de "x" e "y" em uma das equações e descobrir o valor de "z".

I) Determinante "x" (Dx):

Para isso vamos substituir os números que estão depois da igualdade na primeira coluna (coluna x).

$\begin{bmatrix}1&1&1 \\ - 1&1& - 1 \\ 0&3&2\end{bmatrix} .\begin{bmatrix} 1&1 \\ - 1&1 \\ 0&3\end{bmatrix} \\ \\ Dx = Diagonal P - Diagonal S \\ Dx = 1.1.2 + 1.( - 1).0 + 1.( - 1).3 - (0.1.1 + 3.( - 1).1 + 2.( -1).1) \\ Dx = 2 + 0 - 3 - (0 - 3 - 2) \\ Dx = - 1 - (- 5) \\ Dx = - 1 + 5 \\ \boxed{Dx = 4}$

II) Determinante "y" (Dy):

Para isso vamos substituir os números que estão depois da igualdade na segunda coluna (coluna y).

$\begin{bmatrix}1&1&1 \\ 1& - 1& - 1 \\ 2&0&2\end{bmatrix}. \begin{bmatrix} 1&1\\ 1& - 1\\ 2&0\end{bmatrix} \\ \\ Dy = Diagonal P - Diagonal S \\ Dy = 1.( - 1).2 + 1.( - 1).2 + 1.1.0 - (2.( - 1).1 + 0.( - 1).1 + 2.1.1) \\ Dy = - 2 - 2 + 0 - ( - 2 + 0 + 2) \\ Dy = - 4 - (0) \\ \boxed{Dy = - 4}$

Agora vamos substituir na fórmula para descobrir os valores de "x" e "y".

$\begin{cases} \boxed{x = \frac{Dx}{D } } \\ \\ x = \frac{4}{2} \\ \boxed{x = 2} \\ \\ \\ \boxed{y = \frac{Dy}{D} } \\ \\ y = \frac{ - 4}{2} \\ \boxed{y = - 2}\end{cases}$

Vamos substituir esses dados em uma das 3 equações, para achar o valor de "z".

Vou escolher a primeira equação (x + y + z) = 1

$\boxed{1x + 1y + 1z = 1} \\ 1.2 + 1.( - 2) + 1z = 1 \\ 2 - 2 + z = 1 \\ 0 + z = 1 \\ \boxed{z = 1}$

Portanto a terna dessa sistema é:

$\boxed{ \begin{cases}(2, - 2,1) \rightarrow a = 2 \: ,b = - 2 \: ,c = 1\end{cases}}$

Substituindo esses dados na expressão que relaciona os valores da terna obtemos:

$\begin{cases}\large\boxed{a {}^{b} - c} \\ \\ (2) {}^{ - 2} - 1 \\ \\ \frac{1}{2 {}^{2} } - 1 \\ \\ \frac{1}{4} - 1 \\ \\ \frac{1 - 4}{4} \\ \\ \large\boxed{- \frac{3}{4}} \end{cases}$

Resposta: b)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️