Question

9) Resolva está seguinte questão de Funções Derivadas !


c)$f(x)= (\frac{x^2 - 3x}{\sqrt{x + 1} } )^{3}$

Answer 1

Resposta:

f'(x) = $\frac{9x^{4}- 24x^{3} + 54x - 27x^{2} }{x^{2} + 2x + 1 } }$

Explicação passo-a-passo:

f(x) = $(\frac{x^{2} - 3x }{\sqrt{x + 1} } )^{3}$

A princípio, derivaremos normalmente. Ou seja, usando a regra geral:

se $f(x) = x^{n}$ então $f'(x) = n * x^{n-1}$

Logo:

Perceba que, no nosso caso, nosso n é o 3:

f'(x) = 3 $(\frac{x^{2} - 3x }{\sqrt{x + 1} } )^{3-1}$

f'(x) = 3 $(\frac{x^{2} - 3x }{\sqrt{x + 1} } )^{2}$

Utilizando uma propriedade de potência que diz que:

$(\frac{x}{y} )^{n} = \frac{x^{n} }{y^{n} }$

Podemos escrever:

$f'(x) = 3\frac{(x^{2} - 3x )^{2} }{(\sqrt{x+1} )^{2} }$

No denominador, ficaremos com x + 1

No numerador, vamos aplicar um produto notável:4

(x² -3x)² = (x²)² - 2 * x² * 3x + (3x)² = $x^{4}$ - 6x³ + 9x²

Então:

$f'(x) = 3 * \frac{x^{4} - 6x^{3}+9x^{2} }{x+1}$

Vamos chamar de:

u = $x^{4} -6x^{3} +9x^{2}$

v = x + 1

Vamos utilizar a regra do quociente de duas funções:

y = u / v

y' = $\frac{v * u' - uv'}{v^{2} }$

No nosso problema, temos:

f'(x) = 3 * $\frac{(x+1) * (x^{4}-6x^{3} + 9x^{2})' - (x^{4}-6x^{3} + 9x^{2}) * (x+1)' }{(x+1)^{2} }$

f'(x) = 3 * $\frac{(x+1) * (4x^{3}- 3*6x^{2} + 2*9x) - (x^{4}-6x^{3} + 9x^{2}) * 1 }{(x^{2} + 2 * x * 1 + 1^{2} )} }$

f'(x) = 3 * $\frac{(x+1) * (4x^{3}- 18x^{2} + 18x) - (x^{4}-6x^{3} + 9x^{2}) }{(x^{2} + 2x + 1 )} }$

f'(x) = 3 * $\frac{(4x^{4}- 18x^{3} + 18x^{2} +4 x^{3}- 18x^{2} + 18x ) - (x^{4}-6x^{3} + 9x^{2}) }{x^{2} + 2x + 1 } }$

f'(x) = 3 * $\frac{(4x^{4}- 14x^{3} + 18x ) - (x^{4}-6x^{3} + 9x^{2}) }{x^{2} + 2x + 1 } }$

f'(x) = 3 * $\frac{3x^{4}- 8x^{3} + 18x - 9x^{2} }{x^{2} + 2x + 1 } }$

Multiplicando pelo 3, enfim:

f'(x) = $\frac{9x^{4}- 24x^{3} + 54x - 27x^{2} }{x^{2} + 2x + 1 } }$

Perdoa se eu errei alguma continha boba no meio do caminho :)

Qualquer dúvida, só chamar