Question

9 - Reescreva a expressão completando o quadrado. x^2 − 4x − 3
OBS: Anexo com a expressão e a resposta do gabarito, se possível deem uma resposta bem passo a passo é algo novo pra mim.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a expressão procurada com os quadrados completados é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf (x - 2)^{2} - 7\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a resposta correta é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:B\:\:\:}}\end{gathered} }$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão do segundo grau para a forma:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$

Onde:

 $\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:reais\end{cases}$

Seja a expressão do segundo grau:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 4x - 3\end{gathered}$

Para completar os quadrados desta expressão devemos transforma-la em equação. Então, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 4x - 3 = 0\end{gathered}$

Agora devemos passar o termo independente para o segundo membro:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 4x = 3\end{gathered}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 4x + \bigg(\frac{-4}{2}\bigg)^{2} = 3 + \bigg(\frac{-4}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} - 4x + \frac{(-4)^{2}}{2^{2}} = 3 + \frac{(-4)^{2}}{2^{2}}\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 4x + \frac{16}{4} = 3 + \frac{16}{4}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 4x + 4 = 3 + 4\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 4x + 4 = 7\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 2)^{2} = 7\end{gathered}$

Passando tudo de volta para o primeiro membro, temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 2)^{2} - 7 = 0\end{gathered}$

Reconvertendo a equação para a expressão, temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 2)^{2} - 7\end{gathered}$

Portanto, a expressão com os quadrados completados é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 2)^{2} - 7\end{gathered}$

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