Question

9) Qual é o menor número inteiro positivo que tem 15 divisores? Sugestão: se a = pp...p é a decomposição do número procurado em fatores primos, CLA JE então 15 = (0, + 1)(a + 1)... (α + 1). Observe que só há duas maneiras (salvo quanto à ordem) de decompor 15 em fatores inteiros positivos.​

Answer 1

Considerando as informações presente no enunciado da questão e os conhecimentos referentes a teorema fundamental da aritmética, é possível afirmar que o menor número inteiro positivo que tem 15 divisores é o 144.

Sobre teorema fundamental da aritmética:

O teorema fundamental da aritmética nos diz que todos os números inteiros positivos maiores que 1 possuem uma decomposição única em fatores primos. Isto quer dizer que dado um número inteiro p, dentre todas as suas decomposições possíveis, existiria uma única tal que todos os elementos multiplicando sejam primos ou potências de primos:

$P = P_1^\alpha.P_2^\beta...P_n^\gamma$

Deste modo podemos usar a seguinte relação para encontrar a resposta:

$(\alpha +1)(\beta +1) = 15$

Assim, alpha e beta podem ser, respectivamente 4 e 2. Agora, aplicando esses valores no teorema fundamental da aritmética e considerando que buscamos o menor número inteiro positivo, as incógnitas $P_1$ e $P_2$ serão 2 e 3 por serem os menores números primos, logo:

$P = 2^4 + 3^2 = > P = 144$

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