9). Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces
são todas congruentes a um único polígono regular, todos
os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e
cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles
são importantes, por exemplo, na classificação das formas
dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos
objetos. Como todo o poliedro convexo, os sólidos de
Platão respeitam a relação de Euler V-A + F = 2, em que V,
A e F são números de vértices, arestas e faces do poliedro
respectivamente. Em um cristal, cuja forma é a de um
poliedro de Platão, de faces triangulares, qual é a relação
entre o número de vértices e o número de faces?
(A) 2V - 4F = 4
(B) 2V - 2F = 4
(C) 2V - F = 4
(D) 2V + F = 4
(E) 2V + 5F = 4
Soluções para a tarefa
A relação entre o número de vértices e o número de faces é 2V - F = 4.
De acordo com o enunciado, o sólido possui apenas faces triangulares. Então, vamos considerar que F = F3.
O dobro da quantidade de arestas é igual ao produto do número de lados de cada face pela quantidade de faces.
Podemos dizer que a quantidade de arestas em função da quantidade de faces é igual a:
2A = 3.F3
A = 3.F3/2
Utilizando a relação de Euler, obtemos:
V + F = A + 2
V + F = 3F3/2 + 2
Substituindo o F3 por F:
V + F = 3F/2 + 2
Multiplicando toda a equação por 2:
2V + 2F = 3F + 4
2V + 2F - 3F = 4
2V - F = 4.
Portanto, a alternativa correta é a letra c).
A relação entre o numero de vértices e o número de faces é 2V - F = 4.
O poliedro é uma figura tridimensional sendo compostas por vértices, arestas e faces.
Faces: superfícies planas constituída no sólido;
Arestas: linhas de encontro de duas faces;
Vértices: pontos de encontro das arestas
Pela relação de Euler, obtém-se que V + F = A + 2.
Os triângulos são formados por faces, em que para cada face, há 3 arestas, já a aresta é o encontro de duas faces.
Relacionando arestas com faces:
A = 3F/2
Substituindo na relação de Euler:
V - 3F/2 + F = 2
(2V - 3F + 2F)/2 = 4/2
2V - F = 4
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