Question

9. (FGV - SP) No plano cartesiano, uma circunferên-
cia tem centro C(5, 3) e tangencia a reta de equação
3x + 4y - 12 = 0. A equação dessa circunferência é:
a) x² + y² - 10x - 6y + 25 = 0
b) x²+ y²- 10x - 6y + 36 = 0
C) x² + y² - 10x - 6y + 49 = 0
d) x² + y2 + 10x + 6y + 16 = 0
e) x² + y²+ 10x + 6y + 9 = 0​

Answer 1

Resposta:

(x-a)²+(y-b)²=r²   ...equação reduzida da reta

C(5,3)

(x-5)²+(y-3)²=r²

distância entre ponto (5,3) e  a reta  3x + 4y - 12 = 0 é o raio

d=|ax+by+c|/√(a²+b²)

r=|3*5+4*3-12|/√(3²+4²)

r=|15|/5 =3

(x-5)²+(y-3)²=r²

x²-10x+25+y²-6y+9=3²

x²+y²-10x-6y+25=0

Letra A

Answer 2

Se a reta é tangente à circunferência, isso quer dizer que vão compartilhar apenas um ponto em comum.

A distância entre o ponto em comum que compartilham e o centro da circunferência será o raio desta circunferência E a distância entre o ponto C e a reta dada.

Usando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta podemos determinar o raio desta circunferência:

$r=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2} }$

$r=\frac{|3.5+4.3-12|}{\sqrt{3^2+4^2} }$

$r=\frac{|15+12-12|}{\sqrt{9+16} }$

$r=\frac{|15|}{\sqrt{25} }$

$r=\frac{15}{5}$

$r=3$

Agora que temos o raio e o centro da circunferência podemos definir sua equação geral:

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (b^2 + a^2 - r^2) = 0$

$x^2 + y^2 - 2.5x - 2.3y + (3^2 + 5^2 - 3^2) = 0$

$x^2 + y^2 - 10x - 6y + (9 + 25 - 9) = 0$

$x^2 + y^2 - 10x - 6y + 25 = 0$

Gabarito: a)

Representação gráfica da circunferência e da reta: