Question

9. Determine o valor de x na figura abaixo. A) 2,7 B) 3 C) 4 D) 11/4 E) 13/3

Answer 1

Neste exercício, vamos utilizar a área do triângulo de medidas 6, 8 e 12 para determinar a medida "h" e, posteriormente, com auxílio do teorema de Pitágoras vamos calcular a medida "x".

Conhecendo-se a medida dos três lados de um triângulo, podemos determinar sua área utilizando a formula de Heron (abaixo).

$Area_{\triangle}~=~\sqrt{p\cdot(p-A)\cdot(p-B)\cdot(p-C)}\\\\\\Onde:~~~\left\{\begin{array}{ccl}A,~B,~C&:&Medidas~dos~lados~do~triangulo\\p&:&Semiperimetro~~\left(p=\dfrac{A+B+C}{2}\right)\end{array}\right.$

Vamos começar calculando o semiperímetro:

$p~=~\dfrac{6+12+8}{2}\\\\\\p~=~\dfrac{26}{2}\\\\\\\boxed{p~=~13~u.c}$

Substituindo agora todos valores na formula de Heron:

$Area_{\triangle}~=~\sqrt{13\cdot(13-6)\cdot(13-12)\cdot(13-8)}\\\\\\Area_{\triangle}~=~\sqrt{13\cdot(7)\cdot(1)\cdot(5)}\\\\\\\boxed{Area_{\triangle}~=~\sqrt{455}~u.a}$

Mas por que calculamos a área?

Como sabemos, a área do triângulo pode ser calculada de diversas formas diferentes, uma delas foi vista acima, outra muito conhecida é dada da seguinte forma:

$\boxed{Area_{\triangle}~=~\dfrac{Base\cdot Altura}{2}}$

Observando a figura, podemos ver que, considerando o lado de 8 u.c como a base, o comprimento "h" será a altura do triângulo em relação a essa base, logo:

$Area_{\triangle}~=~\dfrac{8\cdot h}{2}\\\\\\\boxed{Area_{\triangle}~=~4\cdot h}$

Seja qual for o método utilizado, o resultado para a área deve ser o mesmo, logo podemos igualar as duas áreas achadas:

$4\cdot h~=~\sqrt{455}\\\\\\\boxed{h~=~\dfrac{\sqrt{455}}{4}}$

Por fim, como mencionado no começo desta resolução, vamos utilizar o teorema de Pitágoras no triangulo retângulo formado pelas medidas "h", "x" e 6:

$Hipotenusa^2~=~Cateto_1^{\,2}~+~Cateto_2^{\,2}\\\\\\6^2~=~h^2~+~x^2\\\\\\36~=~\left(\dfrac{\sqrt{455}}{4}\right)^2~+~x^2\\\\\\36~=~\dfrac{455}{16}~+~x^2\\\\\\x^2~=~36~-~\dfrac{455}{16}\\\\\\x^2~=~\dfrac{576-455}{16}\\\\\\x^2~=~\dfrac{121}{16}\\\\\\x~=~\sqrt{\dfrac{121}{16}}\\\\\\\boxed{ x~=~\dfrac{11}{4}~u.c}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$