Question

9) Com base na forma polar de um complexo representada logo abaixo, qual será a sua forma algébrica? 
a) 4+2i
b) 3+2√2i
c) √2-2i
d) -2-2i ​

Answer 1

Resposta:

Cos 5π/4 = Sen 5π/4 = -√2/2

z = 2√2(-√2/2 - i.√2/2)

Z = -2 - 2i

Answer 2

Alternativa correta é a letra D.

Na representação trigonométrica, um número complexo $\boldsymbol{ \textstyle \sf z = a +b i }$ é

determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo das abscissas.

Vide a figura em anexo:

As coordenadas cartesianas do ponto z, pode ser representado por suas coordenadas polares, que são:

• o módulo do vetor $\boldsymbol{ \textstyle \sf \overrightarrow{\sf Oz }}$ indicado por |z| ou $\boldsymbol{ \textstyle \sf \rho }$, representando a distância do ponto P à origem do plano, com $\boldsymbol{ \textstyle \sf \mid z \mid \neq 0 }$;

• o ângulo $\boldsymbol{ \textstyle \sf \theta }$, em que $\boldsymbol{ \textstyle \sf 0\leq \theta \leq 2\pi }$, que o vetor $\boldsymbol{ \textstyle \sf \overrightarrow{\sf Oz }}$ forma com o eixo x. É chamado argumento de z.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OAP, temos:

$\displaystyle \sf \mid z \mid^2 = a^2 +b^2$

$\boxed{ \displaystyle \sf \mid z \mid = \rho = \sqrt{a^2 + b^2} }$

$\displaystyle \sf z = a +bi, \; z \neq 0$

$\displaystyle \sf arg(z) = \theta$

Em trigonometria, temos:

$\displaystyle \sf \cos{\theta} = \dfrac{a}{\mid z \mid } \Rightarrow a = \mid b \mid \cdot \cos{\theta}$

$\displaystyle \sf \sin{\theta} = \dfrac{b}{\mid z \mid } \Rightarrow b = \mid b \mid \cdot \sin{\theta}$

Substituindo esse valores em z, temos:

$\displaystyle \sf z = a +bi$

$\displaystyle \sf z = \mid z \mid \cdot \cos{\theta} \: + \mid z \mid \cdot \sin{\theta} \cdot i$

$\boxed{ \displaystyle \sf z = \mid z \mid \left( \cos{\theta} + i \cdot \sin{\theta} \right) }$

Chamada forma trigonométrica ou forma polar de z.

Dados fornecido pelo enunciado:

$\displaystyle \sf z = 2\sqrt{2}\: \cdot \left( \cos{\dfrac{5\pi}{4}} + i \cdot \sin{ \dfrac{5 \pi}{4} } \right)$

Forma algébrica:

$\displaystyle \sf \left. \begin{array}{ r r} \sf \cos{\dfrac{5\pi}{4} } = -\: \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \sf \sin{\dfrac{5\pi}{4}} = -\: \dfrac{\sqrt{2} }{2} \end{array}\right \} \sf \Rightarrow \theta = 225^\circ$

$\displaystyle \sf z = 2\sqrt{2}\: \cdot \left( \cos{\dfrac{5\pi}{4}} + i \cdot \sin{ \dfrac{5 \pi}{4} } \right)$

$\displaystyle \sf z = 2\sqrt{2}\: \cdot \left( -\: \dfrac{ \sqrt{2} }{2} - i \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right)$

$\displaystyle \sf z = \left( -\: \dfrac{ 2\sqrt{2}\: \cdot \sqrt{2} }{2} - i \cdot \dfrac{2\sqrt{2} \: \cdot \sqrt{2} }{2} \right)$

$\displaystyle \sf z = \left( -\: \dfrac{ 2\sqrt{4}\: }{2} - i \cdot \dfrac{ 2\sqrt{4} }{2} \right)$

$\displaystyle \sf z = \left( -\: \dfrac{ 2 \cdot 2 }{2} - i \cdot \dfrac{2 \cdot 2 }{2} \right)$

$\displaystyle \sf z = \left( -\: \dfrac{ 4 }{2} - i \cdot \dfrac{4 }{2} \right)$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf z = -2 - 2 \cdot i }}}$

Alternativa correta é a letra D.

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