Question

9.
Calcule o valor de p na equação x? - (p + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes reais sejar
iguais.​

Answer 1

Resposta:

p = 7 ou p = -17

Explicação passo-a-passo:

x² - (p+5)x + 36 = 0

Para as raízes serem reais e iguais, delta tem que ser zero.

a = 1, b = - (p+5), c = 36

Δ = 0

b² - 4.a.c = 0

(-(p+5))² - 4 . 1 . 36 = 0

p² + 10p + 25 - 144 = 0

p² + 10p - 119 = 0 (resolvendo a eq. do 2º grau em p)

a = 1, b = 10, c = - 119

Δ = 10² - 4 .1 . (-119) = 100 + 476 = 576

√Δ = √576 = 24

p' = (-10+24)/2 = 14/2 = 7

p" = (-10-24)/2 = -34/2 = - 17

Answer 2

✅ Tendo finalizado todos os cálculos, concluímos que os possíveis valores para o parâmetro "p", de modo que a equação original dada tenha duas raízes reais e iguais são, respectivamente:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf p' = -17\:\:\:e\:\:\:p'' = 7\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação do segundo grau - equação quadrática:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - (p + 5) x + 36 = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são, respectivamente:

         $\Large\begin{cases} a = 1\\b = -(p + 5) = -p - 5\\c = 36\end{cases}$

Para que uma equação do segundo grau venha ter suas raízes reais iguais é necessário que o valor de seu discriminante  - delta - seja igual a "0", ou seja:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \Delta = 0\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} b^{2} - 4ac = 0\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-p - 5)^{2} - 4\cdot1\cdot36 = 0\end{gathered}$

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} p^{2} + 10p + 25 - 144 = 0\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} p^{2} + 10p - 119 = 0\end{gathered}$

Aplicando a fórmula resolutiva da equação do segundo grau, temos:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} p = \frac{-10 \pm\sqrt{10^{2} - 4\cdot1\cdot(-119)}}{2\cdot 1}\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} p = \frac{-10\pm\sqrt{100 + 476}}{2}\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} p = \frac{-10\pm\sqrt{576}}{2}\end{gathered} }$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} p = \frac{-10\pm24}{2}\end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} p = -5\pm12\Longrightarrow \begin{cases} p' = -5-12 = -17\\p'' = -5 + 12 = 7\end{cases}\end{gathered}$

Portanto, os possíveis valores de "p" são, respectivamente:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} p' = -17\:\:\:e\:\:\:p'' = 7\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Prova:\:\:\:}}}\end{gathered} }$

• Substituindo p' na equação original, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - (-17 + 5)x + 36 = 0\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - (-12)x + 36 = 0\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 12x + 36 = 0\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 6)\cdot(x + 6) = 0\end{gathered}$

        Portanto:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = x'' = -6\end{gathered}$

• Substituindo p'' na equação original, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - (7 + 5)x + 36 = 0\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 12x + 36 = 0\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 6)\cdot(x - 6) = 0\end{gathered}$

        Portanto:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = x'' = 6\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$