9) A soma de dois números é 18 e a soma de seus quadrados é 194. Quais são esses números?
Soluções para a tarefa
Resposta:
13 e 5
Explicação passo-a-passo:
13+5 = 18
13² + 5² = 194
x²+y²=194
(18-y)2+y2=194
324-36y+y²+y²=194
2y²-36y+324-194=0
2y²-36y+130=0
Δ=1296-1040
Δ=256
x=36±√256/4
x=36±16/4
x'=36+16/4
x'=52/4 =13
x''=36-16/4
x''=20/4=5
x'=13
x''=5
Resposta:
Os dois números são 5 e 13.
Por favor, acompanhar a Explicação.
Explicação passo-a-passo:
Vamos passar para a linguagem algébrica as informações passadas pela Tarefa:
- A soma de dois números é 18 => a + b = 18;
- A soma de seus quadrados é 194 => a² + b² = 194.
Portanto, estamos diante do seguinte sistema de equações:
{a + b = 18 [1]
{a² + b² = 194 [2]
Vamos elevar ambos os membros da Equação [1] ao quadrado:
a + b = 18
(a + b)² = (18)²
a² + 2ab + b² = 324 [3]
Pela Equação [2), a² + b² = 194; vamos trazer esta informação para a Equação [3]:
a² + 2ab + b² = 324
a² + b² + 2ab = 324
194 + 2ab = 324
2ab = 324 - 194
2ab = 130
ab = 130 ÷ 2
ab = 65 [4]
Pela Equação [4], sabe-se que o produto dos números a e b é 65. Logo, os números a e b são divisores do número 65. Então, façamos a fatoração de 65:
65 | 5
13 | 13
1
Divisores de 65 = {1, 5, 13}
Os números procurados são 5 e 13. Vamos fazer a checagem da solução encontrada:
- 5 + 13 = 18;
- 5² + 13³ = 25 + 169 = 194.