Question

9-10. Uma circunferência de 12pi cm de comprimento é o resultado da secção feita em uma esfera por um plano distante 10cm do centro da mesma. Calcule a área da secção e a área da esfera.

Answer 1

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•   comprimento da circunferência (seção):   $\mathsf{C=12\pi~cm;}$


•   raio da circunferência (seção):

$\mathsf{r=\dfrac{C}{2\pi}}\\\\\\ \mathsf{r=\dfrac{12\pi}{2\pi}}\\\\\\ \mathsf{r=6~cm;}$


•   distância do centro da circunferência seção até o centro da esfera:

$\mathsf{h=10~cm;}$


Sendo $\mathsf{R}$ o raio da esfera, observamos que temos um triângulo retângulo, cujos catetos medem $\mathsf{r}$ e $\mathsf{h},$ e cuja hipotenusa é o raio $\mathsf{R}$ da esfera.


Logo, pelo Teorema de Pitágoras, temos

$\mathsf{R^2=r^2+h^2}\\\\ \mathsf{R^2=6^2+10^2}\\\\ \mathsf{R^2=36+100}\\\\ \mathsf{R^2=136}$

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a) Área da seção:

$\mathsf{A_s=\pi r^2}\\\\ \mathsf{A_s=\pi \cdot 6^2}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{A_s=36\pi~cm^2} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

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b) Área da esfera:

$\mathsf{A_e=4\pi R^2}\\\\ \mathsf{A_e=4\pi \cdot 136}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{A_e=544\pi~cm^2} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)