Question

89)Dado o numero imaginario u=x+yi(com x e y reais e i a unidade imaginaria),seja w o seu conjugado.Se u^2-w^2=8i e |u|=/"5"(raiz quadrada de cinco), entao x +y pode ser: A)2 B)1 C)5 D)4 E)3​

Answer 1

Resposta:

Alternativa e)

Explicação passo-a-passo:

u=x+yi

w=x-yi

u²-w²=8i

(x+yi)²-(x-yi)²=8i

x²+2xyi+y²i²-(x²-2xyi+y²i²)=8i

x²+2xyi+y²i²-x²+2xyi-y²i²=8i

4xyi=8i

xy=2 => y=2/x (I)

|u|=√5

√(x²+y²)=√5

x²+y²=5, de (I)

x²+(2/x)²=5

x²+4/x²=5

x⁴+4=5x²

x⁴-5x²+4=0

x²=β

β²-5β+4=0

$Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~\beta^{2}-5\beta+4=0~~\\e~comparando~com~(a)x^{2}+(b)x+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=-5~e~c=4\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(-5)^{2}-4(1)(4)=25-(16)=9\\\\\beta^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2(1)}=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1\\\\\beta^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2(1)}=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$

Para β=1

x²=β=1 => x=±1

Para β=4

x²=β=4 => x=±√4=±2

Para x=1, de (I)

xy=2 => 1.y=2 => y=2

S₁=(1,2)

Para x=-1, de (I)

xy=2 => -1.y=2 => y=-2

S₂=(-1,-2)

Para x=2, de (I)

xy=2 => 2.y=2 => y=1

S₃=(2,1)

Para x=-2, de (I)

xy=2 => -2.y=2 => y=-1

S₄=(-2,-1)

No exercício é solicitado x+y

S₁=(1,2) => x+y=1+2=3

S₂=(-1,-2) => x+y=-1-2= -3

S₃=(2,1) => x+y=2+1=3

S₄=(-2,-1) => x+y=-2-1= -3

Dentre as alternativas S₁, S₂, S₃ e S₄, temos a alternativa e)