Question

85- 1. Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = - 2t² + 120t (em que t é expresso em dias e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.Para decidir quais seriam as próximas medidas para o combate à epidemia, o secretário de saúde dessa cidade solicitou que fosse apontado o dia em que a Secretaria de Saúde registrou a maior número de infectados e qual foi esse número. Quais informações foram passadas a ele?



No 19º dia após o início da contagem houve um pico de 1800 pessoas infectadas.


No 20º dia após o início da contagem houve um pico de 1700 pessoas infectadas.


No 29º dia após o início da contagem houve um pico de 1698 pessoas infectadas.


No 30º dia após o início da contagem houve um pico de 1800 pessoas infectadas.​

Answer 1

Resposta:

No 30º dia após o início da contagem houve um pico de 1800 pessoas infectadas.​

Explicação passo-a-passo:

Forma geral de equações do 2º grau:

$y(x)=ax^2+bx+c$

No nosso caso:

$f(t)=-2t^2+120t$

Com:

$a=-2,\ b=120, \ c=0$

Fórmula do x do vértice da parábola (nesse caso, temos um "t" do vértice):

$t_v=\frac{-b}{2a}\\\\t_v=\frac{-120}{-4} \\\\t_v=30$

Isso nos diz que no 30º dia temos um valor máximo de infectados. Agora, vamos calcular qual é esse valor com a fórmula do y do vértice (nesse caso "f" do vértice):

$f_v=\frac{-D}{4a}$

Com D sendo o delta da equação. Logo:

$f_v=\frac{-D}{4a}\\\\f_v=\frac{-(b^2-4ac)}{4a} \\\\f_v=\frac{-(14400-0)}{-8}\\\\f_v=14400/8=1800$

Com isso, sabemos que o valor máximo de infectados será de 1800 pessoas.

*Outro método para achar esse valor máximo de infectados seria substituir o $t_v$ ("t" do vértice já encontrado anteriormente) na equação. Isso também nos retornaria o valor máximo de t:

$f(t)=-2t^2+120t\\\\f(30)=f_v=-2*(30)^2+120*30\\\\f(30)=f_v=-1800+3600\\\\f(30)=f_v=1800$

Valeu!