Question

8. (UFJF 98) Um satélite brasileiro é lançado ao espaço de tal forma que entra em órbita circular em torno da linha do Equador terrestre. 

1. Considerando que a única força que age no satélite é a força gravitacional terrestre, devido à Lei da Gravitação Universal, determine a relação entre a velocidade angular do satélite (w ) e a sua distância (r) ao centro da Terra. 

2. Satélites de telecomunicação são, na maioria, geoestacionários, ou seja, uma antena parabólica fixa na Terra o "veria" parado no céu. Considerando que o período de rotação deste tipo de satélite é 24 horas, calcule o valor aproximado de sua distância em relação ao centro da Terra. (Sugestão: use a resposta do item anterior.) 

Dados: massa da Terra 6x10^24 Kg; aceleração da gravidade 10 m/s^2; constante da gravitação universal 6,7x 10^-11 m^3s^2/kg. Alguém me ajuda

Answer 1

Olá! Espero ajudar!

Sabemos que a força gravitacional é dada por-

Fg = Gm·M/R²

Onde -  

G=Constante de gravitação universal  

M e m = massa dos corpos

R =distância entre os centros de gravidade dos corpos.

Como a única força que age no satélite é a força gravitacional e o mesmo executa uma trajetória circular, podemos dizerr que a força centrípeta equivale à força gravitacional -

Fc = mV²/R

Sabemos também que em uma trajetória circular a velocidade angular e a velocidade linear possuem a seguinte relação -

v = wR

Assim,

m(wR)²/R = Gm·M/R²

w²R = GM/R²

w² = GM/R³

w = √GM/R³

w= √6·10²⁴·6,7· 10⁻¹¹/R³

w = √40.2·10¹³/R³

Como,

w = 2π/T

T = 24 horas = 86400 segundos

2π/86400 = √40.2·10¹³/R³

(2π/86400)² = 40.2·10¹³/R³

R³ = 40.2·10¹³/(7,3 ·10⁻⁵)²

R =     4,2· 10⁷   km