Question

8. Tem-se A = (2, 5), B = (4, 2), C = (3, 4) e D = (0, y). Para qual valor de y as retas AB e CD são perpendiculares?

Answer 1

✅ Retas perpendiculares:

Diante da referida situação temos duas retas que são "r" e "s".

Pontos pertencentes à reta r:

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}A = (2, 5)\\B = (4, 2) \end{gathered}$

Pontos pertencentes à reta s:

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}C = (3, 4)\\D = (0, y) \end{gathered}$

Se estas retas são perpendiculares entre si então, significa dizer que o produto de seus coeficientes angulares resulta em "-1".

Sabendo que o coeficiente angular de uma reta é a tangente do ângulo que a referida reta forma com o eixo das abscissas no seu sentido positivo e, que o coeficiente angular da reta "r" é "mr" e o coeficiente angular da reta "s" é "ms", então:

                                  $\large\displaystyle\begin{gathered}m_{r}\cdot m_{s} = -1 \end{gathered}$

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}(tg\: \alpha)\cdot(tg\:\tg\:\beta) = -1\end{gathered}$

              $\large\displaystyle\begin{gathered}\Big(\frac{sen\:\alpha}{cos\:\alpha} \Big)\cdot\Big(\frac{sen\:\beta}{cos\:\beta} \Big) = -1 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\Big(\frac{Y_{B} - Y_{A} }{X_{B} - X_{A} } \Big)\cdot\Big(\frac{Y_{D} - Y_{C} }{X_{D} - X_{C} } \Big) = -1 \end{gathered} }$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\Big(\frac{2 - 5}{4 - 2} \Big)\cdot\Big(\frac{y - 4}{0 - 3} \Big) = -1 \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered} \Big(\frac{-3}{2} \Big)\cdot\Big(\frac{y - 4}{-3} \Big)= -1\end{gathered}$

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{-3y + 12}{-6} = -1\end{gathered}$

                               $\large\displaystyle\begin{gathered} -3y + 12= 6\end{gathered}$

                               $\large\displaystyle\begin{gathered}-3y = 6 - 12 \end{gathered}$

                               $\large\displaystyle\begin{gathered}-3y = -6 \end{gathered}$

                                  $\large\displaystyle\begin{gathered}3y = 6 \end{gathered}$

                                    $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{6}{3} \end{gathered}$

                                     $y = 2$

✅ Portanto, o valor de "y" para que ambas as retas sejam  perpendiculares é:

                                     $\large\displaystyle\begin{gathered}y = 2 \end{gathered}$

Neste caso, os pontos notáveis das retas são:

reta "r":

                                    $\large\displaystyle\begin{gathered}A(2, 5)\\B(4, 2) \end{gathered}$

reta "s":

                                     $\large\displaystyle\begin{gathered}C(3, 4)\\D(0, 2) \end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/46822225
2. https://brainly.com.br/tarefa/49316225
3. https://brainly.com.br/tarefa/49435663

Solução gráfica: