Question

8. Se x e y são números reais não nulos, tais que
x² + y²= 5 e xy = 2, calcule o valor numérico
da expressão :

$\frac{ {x}^{2} }{ {y}^{2} } + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + 2$








me ajudeeeeeeeeem​

Answer 1

$x^2+y^2=5 \\ \\x^2+\left(\dfrac{2}{x}\right)^2=5 \\ \\x^2+\dfrac{4}{x^2}=5 \\ \\x^2x^2+4=5x^2 \\ \\x^4-5x^2+4=0$

Definindo $x^2=r$, temos:

$r^2-5r+4=0$

Dessa equação, obtemos $r=1$ ou $r=4$.

Portanto, $x=\pm1$ ou $x=\pm2$.

Daí, de $xy=2$, obtemos $y=\pm2$ ou $y=\pm1$.

Como na expressão que queremos encontrar o valor os termos $x$ e $y$ estão elevados à segunda potência, não precisamos nos preocupar com os sinais dos valores obtidos, pois $(2)^2=(-2^2)=4$ e $(1)^2=(-1)^2=1$.

$\dfrac{1^2}{2^2}+\dfrac{2^2}{1^2}+2=\dfrac{1}{4}+4+2=\dfrac{1}{4}+6=\dfrac{25}{4}$

No caso dessa expressão, usar $x=1$ e $y=2$ ou $x=2$ e $y=1$ não faz diferença, pois o resultado será o mesmo.