Question

8- Resolvendo a equação, log 2^x+ log (1+ 2^x ) = log 20 , encontramos o valor de x real igual a

Answer 1

Resposta:

2

Explicação passo-a-passo:

Equação Logarítmica :

log 2^x + log (1 + 2^x) = log 20

log [2^x(1 + 2^x)] = log20

2^x(1 + 2^x) = 20

Seja : 2^x = k

k ( 1 + k ) = 20

k² + k - 20 = 0

∆ = b² - 4 • a • c

∆ = 1² - 4 • 1 • (-20)

∆ = 1 + 80

∆ = 81 >>>> √∆=√81=9

k' = (-1+9)/2 = 8/2 = 4

k'' = (-1 - 9)/2 = -10/2 = -5

Lembrando que :

2^x = k

2^x = k'

2^x = 4

2^x = 2²

x = 2 ✅✅✅

Para k = -5

2^x = -5 >>>> não serve .

Espero ter ajudado bastante!)

Answer 2

Olá, tudo bem?

Tópico: EQUAÇÃO LOGARÍTMICA

Dispõe-se da seguinte equação logarítmica:

$log {2}^{x} + log(1 + {2}^{x} ) = log20$

O primeiro da resolução é relativo ao cálculo do domínio das expressões logarítmicas.

Sabe-se que para que um logaritmo exista é necessário que o seu logaritmando seja maior que zero.

Portanto,

${2}^{x} > 0 \: \: e \: 1 + {2}^{x} > 0 \\ = > {2}^{x} > 0 \: \: e \: \: {2}^{x} > - 1$

Tanto a primeira como a segunda inequação são verdadeiras para todo o conjunto dos números reais, por isso, o domínio da equação é x pertence a IR.

RESOLVENDO:

Aplicaremos a propriedade do logaritmo do produto no primeiro membro:

$log( {2}^{x} ) (1 + {2}^{x}) = log20$

Igualando os logaritmandos:

${2}^{x} (1 + {2}^{x} ) = 20$

Impondo uma condição,

${2}^{x} = y$

Teremos:

$y(1 + y) = 20 \\ = > y + {y}^{2} = 20 \\ = > {y}^{2} + y - 20 = 0$

A resolução da equação do segundo grau obtida pode ser feita mediante o teorema de Viétè. Questionando, quais são os números cuja soma é igual a —1 e o produto é —20? Tais números são: —5 e 4.

Por isso:

$(y + 5)(y - 4) = 0 \\ = > y_{1} = - 5 \: \: ou \: \: y_{2} = 4$

Voltando à condição:

Para o y1:

${2}^{x} = - 5 \\ = > x = log_{2}( - 5)$

O logaritmando é menor que zero, então não existe no conjunto dos números reais.

Para o y2:

${2}^{x} = 4 \\ = > {2}^{x} = {2}^{2} \\ = > x = 2$

Sol: {2}

Espero ter ajudado!