8- Resolva a inequação logarítmica Log10 (x2 + 2) > Log10 (2x - 1).
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
condição de validade
Conjunto A
x² + 2 > 0 ⇒ x² > -2 ⇒ A = R
Conjunto B
2x - 1 > 0 ⇒ 2x > 1 ⇒ x > 1/2 ⇒ B = {x ∈ R / x > 1/2}
como base 10 > 1 ⇒ à medida que o logaritmando aumenta também aumenta o logaritmo
então
Conjunto C
x² + 2 > 2x - 1
x² - 2x + 3 > 0
como Δ = -8 ⇒ parábola côncava para cima que não corta eixo das abscissas logo qualquer "x" satisfaz!! ⇒ C = R
A∩B∩C ⇒ {x ∈ R / x > 1/2}
A inequação logarítmica tem como solução x > 1/2.
Inequações logarítmicas
Primeiramente, devem ser satisfeitas as condições de existência dos logaritmos:
x² + 2 > 0
x² > -2
∴ Verdadeiro para todo x.
2x - 1 > 0
2x > 1
x > 1/2
Agora, sendo as bases dos logaritmos iguais a 10 e, portanto, positivas e maiores do que 1, a desigualdade dada equivale à seguinte:
x² + 2 > 2x - 1
x² - 2x + 1 + 2 > 0
(x - 1)² + 2 > 0
(x - 1)² > -2
∴ Verdadeiro para todo x.
A solução da inequação é a interseção entre as soluções de todas as desigualdades consideradas, isto é, x > 1/2.
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