Question

8. Para ir ao trabalho, Jos´e atravessa, a p´e, uma longa avenida retil´ınea que corta parte dapequena cidade onde vive. De va´rios pontos da avenida, ele consegue avistar a casa de Vânia, sua namorada. O sistema de coordenadas retangulares seguinte mostra parte do mapa da cidade. A casa de Vânia est´a representada pelo ponto V e a origem do sistema corresponde ao marco zero da cidade.



Sabendo que a unidade de medida de comprimento utilizada ´e o metro e que a escala ´e de 1 : 100, determine:

a) a distância real do marco zero da cidade `a casa de Vaˆnia;

b) a distância real do marco zero da cidade `a avenida;

c) as coordenadas do ponto da avenida na qual José fica mais próximo da casa de Vânia;

d) a distância real entre José e a casa de Vânia, considerando o item anterior.


obs: não é questão de marcar, é para fazer cálculo de cada letra. isso é urgente!!!​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) A distância entre os pontos $\sf A(x_A,y_A)~e~B(x_B,y_B)$ é dada por:

$\sf d_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Temos:

$\sf d_{OV}=\sqrt{(x_O-x_V)^2+(y_O-y_V)^2}$

$\sf d_{OV}=\sqrt{(0-2)^2+(0-1)^2}$

$\sf d_{OV}=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}$

$\sf d_{OV}=\sqrt{4+1}$

$\sf d_{OV}=\sqrt{5}$

$\sf d_{OV}=2,236~m$

Para determinar a distância real, multiplicamos por 100

$\sf d=2,236\cdot100~m$

$\sf \red{d=223,6~metros}$

b)

A distância entre o ponto $\sf P(x_0,y_0)$ e a reta $\sf ax+by+c=0$ é dada por:

$\sf d=\dfrac{|~a\cdot x_0+b\cdot y_0+c~|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

=> Equação da reta

• A reta passa pelo ponto (0, 6)

$\sf y=ax+b$

$\sf a\cdot0+b=6$

$\sf 0+b=6$

$\sf b=6$

• A reta também passa pelo ponto (8, 0)

$\sf y=ax+6$

$\sf a\cdot8+6=0$

$\sf 8a+6=0$

$\sf 8a=-6$

$\sf a=\dfrac{-6}{8}$

$\sf a=\dfrac{-3}{4}$

A equação da reta é:

$\sf y=\dfrac{-3x}{4}+6$

$\sf 4y=-3x+24$

$\sf 3x+4y-24=0$

A distância no gráfico é:

$\sf d=\dfrac{|~a\cdot x_0+b\cdot y_0+c~|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\sf d=\dfrac{|~3\cdot0+4\cdot0-24~|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

$\sf d=\dfrac{|~0+0-24~|}{\sqrt{9+16}}$

$\sf d=\dfrac{|~-24~|}{\sqrt{25}}$

$\sf d=\dfrac{24}{5}$

$\sf d=4,8~m$

A distância real é $\sf 4,8\cdot100=\red{480~metros}$

c)

Precisamos determinar a equação da reta perpendicular à avenida e que passa pelo ponto V. Seja s essa reta perpendicular

O ponto procurado é o ponto de interseção dessas retas

O coeficiente angular da reta da avenida é $\sf \dfrac{-3}{4}$

Se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus coeficientes angulares é -1

Assim, $\sf m_s=\dfrac{4}{3}$

A equação da reta s é:

$\sf y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

$\sf y-1=\dfrac{4}{3}\cdot(x-2)$

$\sf 3y-3=4x-8$

$\sf 3y=4x-8+3$

$\sf 3y=4x-5$

$\sf y=\dfrac{4x-5}{3}$

Igualando $\sf y=\dfrac{4x-5}{3}$ e $\sf y=\dfrac{-3x}{4}+6$:

$\sf \dfrac{4x-5}{3}=\dfrac{-3x}{4}+6$

$\sf 16x-20=-9x+72$

$\sf 16x+9x=72+20$

$\sf 25x=92$

$\sf x=\dfrac{92}{25}$

Substituindo em $\sf y=\dfrac{4x-5}{3}$:

$\sf y=\dfrac{4\cdot\frac{92}{25}-5}{3}$

$\sf y=\dfrac{\frac{368}{25}-5}{3}$

$\sf y=\dfrac{\frac{368-125}{25}}{3}$

$\sf y=\dfrac{\frac{243}{25}}{3}$

$\sf y=\dfrac{243}{25}\cdot\dfrac{1}{3}$

$\sf y=\dfrac{243}{75}$

$\sf y=\dfrac{81}{25}$

O ponto procurado é $\sf P\Big(\dfrac{92}{25},\dfrac{81}{25}\Big)$

d)

$\sf d_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Temos:

$\sf d_{VP}=\sqrt{(x_V-x_P)^2+(y_V-y_P)^2}$

$\sf d_{VP}=\sqrt{\Big(2-\dfrac{92}{25}\Big)^2+\Big(1-\dfrac{81}{25}\Big)^2}$

$\sf d_{VP}=\sqrt{\Big(\dfrac{50-92}{25}\Big)^2+\Big(\dfrac{25-81}{25}\Big)^2}$

$\sf d_{VP}=\sqrt{\Big(\dfrac{-42}{25}\Big)^2+\Big(\dfrac{-56}{25}\Big)^2}$

$\sf d_{VP}=\sqrt{\dfrac{1764}{625}+\dfrac{3136}{625}}$

$\sf d_{VP}=\sqrt{\dfrac{4900}{625}}$

$\sf d_{VP}=\dfrac{70}{25}$

$\sf d_{VP}=2,8~m$

A distância real é $\sf 2,8\cdot100=\red{280~metros}$