Question

8 – (ENEM) Sobre o sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios

com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, sepa-

radas por ângulos de π

6 rad, conforme a figura.

Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha,

não podendo passar pela origem (0, 0).
Considere o valor de π com aproximação de, pelo

menos, uma casa decimal.

Para realizar o percurso mais curto possível ao

longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto

deve percorrer uma distância igual a:

a) 2.π.1

3

+ 8

b) 2.π.2

3

+ 6

c) 2.π.3

3

+ 4

d) 2.π.4

3

+ 2

e) 2.π.5

3

+ 2​

Answer 1

Explicação:

Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de π/6 rad, conforme a figura.



Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0 ; 0).

Considere o valor de ππ com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal. Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a

a) 2⋅π⋅13+82⋅π⋅13+8

b) 2⋅π⋅23+62⋅π⋅23+6

c) 2⋅π⋅33+42⋅π⋅33+4

d) 2⋅π⋅43+22⋅π⋅43+2

e) 2⋅π⋅53+22⋅π⋅53+2

Resolução:

A figura ilustra um possível percurso.



Note que o arco percorre 4 ângulos de π/6π/6. Então o ângulo do arco é:

4π6=2π34π6=2π3

rad     comp

2ππ       2ππr \dfrac{2 \pi}{3}       C

Multiplicando em "x", temos:

C = 2πr32πr3

Como o raio é diretamente proporcional ao comprimento, quanto menor o raio menor o comprimento.

Assim, o seguinte percurso possui menor comprimento de arco.



O percurso total é igual à soma do comprimento do arco com o comprimento do segmento de reta. O segmento de reta de uma circunferência para outra vale 1. Então, na primeira figura temos o arco valendo 4. Substituindo ππ por 3,1 e o raio, temos:

Ct = 2πr3+22πr3+2

Ct = 2(3,1)(4)3+22(3,1)(4)3+2 = 10,27

Fazendo o mesmo com o percurso da segunda figura, temos:

Ct = 2πr