Question

8) Durante nossos estudos, vimos que para representar graficamente uma função, podemos aproveitar do estudo das derivadas e limites ou, simplesmente, atribuímos valores por tentativa. Para reforçar essa ideia, fizemos uma lista de exercícios dos quais destacamos
$y=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}$
que você deverá esboçar graficamente.

Oe pessoal, poise fiquei de sub em Cálculo I e é a ultima matéria de calculo do meu curso então por favor me ajudem a entender essa dai, porque possivelmente cairá na prova, desde já muito obrigado!!

Answer 1

Olá, Arthur!

Temos uma equação de quarta potência para esboçar:

$y=\frac{{x}^{4}}{4}-\frac{{x}^{3}}{3}-3{x}^{2}$

Se igualarmos a primeira derivada a zero, encontramos os pontos críticos dessa curva:

$\frac{dy}{dx}={x}^{3}-{x}^{2}-6x$

$0={x}^{3}-{x}^{2}-6x$

$0=x({x}^{2}-x-6)$

Sabemos então que um dos pontos críticos está em $x=0$, e os outros são fornecidos pelas raízes da equação quadrática ${x}^{2}-x-6=0$:

$\Delta=5$

$x=\frac{1 ± 5}{2}=\begin{cases}x_{1}=3 \\ x_{2}=-2 \end{cases}$

Sabemos os pontos críticos $x=-2, x=0$ e $x=3$ onde a derivada é nula e onde o gráfico tem pontos de máximo/mínimo locais, que obtemos substituindo esses valores na equação original. Veja a figura I

$\begin{cases}A=(-2, -\frac{16}{3}) \\ B=(0, 0) \\ C=(3, -\frac{63}{4}) \end{cases}$

A partir daí, temos que fazer o estudo de sinal da primeira derivada nas vizinhanças de cada ponto crítico para descobrir se é um ponto de máximo ou de mínimo:

Para $x=-2$ podemos usar $-3$ e $-1$:

${y}^{'}(-3) = -18 < 0$

${y}^{'}(-1) = 4 > 0$

Logo, em $x=-2$, temos um ponto de mínimo local.

Para $x=0$ podemos usar $-1$ e $1$:

${y}^{'}(-1) =4 > 0$

${y}^{'}(1) =-6 < 0$

Logo, em $x=0$, temos um ponto de máximo local.

Para $x=3$ podemos usar $2$ e $4$:

${y}^{'}(2) =-8 < 0$

${y}^{'}(4) =24 > 0$

Logo, em $x=3$, temos outro ponto de mínimo local.

Observe a figura II.

Agora, precisamos apenas encontrar as raízes da equação. Já sabendo que uma delas é $x=0$.

Quando calculamos o MMC da equação e fatoramos, fica:

$y=\frac{1}{12}x^{2}(3{x}^{2}-4x-36)$

As outras raízes são obtidas fazendo $3{x}^{2}-4x-36=0$

$\Delta=8\sqrt{7}$

$x=\frac{4±8\sqrt{7}}{6}=\begin{cases}x_{1}=\frac{2}{3}-\frac{4\sqrt{7}}{3} \\ x_{2}=\frac{2}{3}+\frac{4\sqrt{7}}{3} \end{cases}$

Com as raízes, já podemos esboçar o gráfico (figura III).

Bons estudos!