Matemática, perguntado por oarrthur, 1 ano atrás

8) Durante nossos estudos, vimos que para representar graficamente uma função, podemos aproveitar do estudo das derivadas e limites ou, simplesmente, atribuímos valores por tentativa. Para reforçar essa ideia, fizemos uma lista de exercícios dos quais destacamos
 y=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}
que você deverá esboçar graficamente.

Oe pessoal, poise fiquei de sub em Cálculo I e é a ultima matéria de calculo do meu curso então por favor me ajudem a entender essa dai, porque possivelmente cairá na prova, desde já muito obrigado!!


YanZ: E o que vc precisa saber desta equação?
oarrthur: fazer o gráfico
oarrthur: e os cálculos

Soluções para a tarefa

Respondido por Peterson42
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Olá, Arthur!

Temos uma equação de quarta potência para esboçar:

y=\frac{{x}^{4}}{4}-\frac{{x}^{3}}{3}-3{x}^{2}

Se igualarmos a primeira derivada a zero, encontramos os pontos críticos dessa curva:

\frac{dy}{dx}={x}^{3}-{x}^{2}-6x

0={x}^{3}-{x}^{2}-6x

0=x({x}^{2}-x-6)

Sabemos então que um dos pontos críticos está em x=0, e os outros são fornecidos pelas raízes da equação quadrática {x}^{2}-x-6=0:

\Delta=5

x=\frac{1 ± 5}{2}=\begin{cases}x_{1}=3 \\ x_{2}=-2 \end{cases}

Sabemos os pontos críticos x=-2, x=0 e x=3 onde a derivada é nula e onde o gráfico tem pontos de máximo/mínimo locais, que obtemos substituindo esses valores na equação original. Veja a figura I

\begin{cases}A=(-2, -\frac{16}{3}) \\ B=(0, 0) \\ C=(3, -\frac{63}{4}) \end{cases}

A partir daí, temos que fazer o estudo de sinal da primeira derivada nas vizinhanças de cada ponto crítico para descobrir se é um ponto de máximo ou de mínimo:

Para x=-2 podemos usar -3 e -1:

 {y}^{'}(-3) = -18 < 0

 {y}^{'}(-1) = 4 > 0

Logo, em x=-2, temos um ponto de mínimo local.

Para x=0 podemos usar -1 e 1:

 {y}^{'}(-1) =4 > 0

 {y}^{'}(1) =-6 < 0

Logo, em x=0, temos um ponto de máximo local.

Para x=3 podemos usar 2 e 4:

 {y}^{'}(2) =-8 < 0

 {y}^{'}(4) =24 > 0

Logo, em x=3, temos outro ponto de mínimo local.

Observe a figura II.

Agora, precisamos apenas encontrar as raízes da equação. Já sabendo que uma delas é x=0.

Quando calculamos o MMC da equação e fatoramos, fica:

y=\frac{1}{12}x^{2}(3{x}^{2}-4x-36)

As outras raízes são obtidas fazendo 3{x}^{2}-4x-36=0

\Delta=8\sqrt{7}

x=\frac{4±8\sqrt{7}}{6}=\begin{cases}x_{1}=\frac{2}{3}-\frac{4\sqrt{7}}{3} \\ x_{2}=\frac{2}{3}+\frac{4\sqrt{7}}{3} \end{cases}

Com as raízes, já podemos esboçar o gráfico (figura III).

Bons estudos!
Anexos:

oarrthur: Caraca! muito obrigado amigo!! muito bem explicado, muito obrigado mesmo!!!
Peterson42: De nada :-)
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