Matemática, perguntado por YooDxE3, 5 meses atrás

8) Dado o ponto P(5,2,3)e o plano л:2x+y+z-3=0,determinar a projeção ortogonal de P sobre л;
a) |(0,0,1)
b) |(0,1,0)
c) |(1,0,1)
d) |(1,0,0)
e) |(1,1,1)

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, podemos concluir que o valor das coordenadas da projeção ortogonal do ponto P no plano π é igual a (1,0,1) ,ou seja, alternativa c). E para chegar a essa conclusão tivemos que usar a equação com a qual se calcula a projeção ortogonal.

E o que é essa equação?

Principalmente a equação que calcula a projeção ortogonal de um ponto no plano é:

$\boxed{\quad \sf P ' = P +\lambda \vec{v _ n } \quad }$

Onde:

$\sf P '$ : É a projeção ortogonal do ponto P no plano (queremos encontrar seu valor).

$\sf P$ : É apenas o ponto que está longe da equação do plano.

$\sf \vec{v _ n }$ : É o vetor normal do plano.

$\sf \lambda$ : É uma variável que pode ser calculada posteriormente.

Tendo em conta a expressão desta fórmula podemos encontrar a solução do nosso problema.

O problema diz que dados os pontos os pontos P(5,2,3) e o plano π: 2x+y+z-3=0 temos que calcular o projeção ortogonal do ponto P no plano π.

Para calcular a projeção ortogonal do ponto, devemos levar em conta os valores do vetor normal do plano e o valor da variável λ, a primeira coisa que pode ser feita é encontrar o vetor normal, pois se não o fizermos encontrar o seu valor não será possível encontrar o valor da nossa variável.

O vetor normal será bem fácil de calcular, vejamos que o plano π está em sua forma geral ou implícita como se escreve assim o vetor normal é igual aos coeficientes que multiplicam as variáveis x, y e z.

Então o vetor normal do plano no nosso caso será igual a:

$\Longrightarrow \boxed{\boxed{\sf \vec{v _ n} = (2{,}1{,}1) }}$

Como já encontramos o vetor normal e já levamos em conta o valor do ponto P, a expressão que descreve as coordenadas da projeção ortogonal é:

$\sf P ' = (5{,}2{,}3 )+\lambda (2{,}1{,}1) \\\\\\\\ \sf P ' =(5{,}2{,}3)+ (2\lambda {,}\lambda {,}\lambda)\\\\\\\\\Longrightarrow \boxed{\boxed{\sf P ' = (5+2\lambda {,}2+\lambda {,}3+\lambda)}}$

Com a ajuda desta expressão podemos encontrar a solução, mas para encontrar o valor de cada coordenada será necessário encontrar a variável λ .

Para calcular esta variável podemos substituir o valor de cada coordenada com sua respectiva variável encontrada na equação do plano. Lembremos que as coordenadas que existem em um plano 3D são x, y e z, onde x é a primeira coordenada, depois segue y e finalmente z, então levando isso em consideração, a equação de primeira ordem que pode calcular a variável λ é:

$\sf 2(5+2\lambda) +(2+\lambda)+(3+\lambda)-3=0 \\\\\\\\ \sf 10+4\lambda +2+\lambda +3+\lambda-3=0 \\\\\\\\ \sf 12 + 6\lambda =0 \\\\\\\\ \sf 6\lambda = -12\\\\\\\\ \sf \lambda =-\dfrac{12}{6}\\\\\\\\ \boxed{\boxed{\sf \lambda = -2}}\Longrightarrow\textsf{ Valor ~de ~la ~vari\'avel ~}\lambda.$

Como já encontramos o valor de nossa variável λ já podemos encontrar a projeção ortogonal do ponto P, levando em consideração nossa expressão que obtivemos anteriormente e o valor da variável λ que calculamos, agora podemos proceder para substituir isso valor em nossa expressão de projeção ortogonal:

$\sf P ' = (5+2(- 2){,}2-2 {,}3-2)\\\\\\\\ \sf P ' = (5-4{,}0{,}1) \\\\\\\\ \boxed{\boxed{\sf P ' = (1{,}0{,}1)}} \Longrightarrow \sf Resposta \checkmark$