Question

8. Considere o polinômio cúbico p(x) = x³ + x² – ax - 3, onde a é um número real. Sabendo que r e -r são raízes reais de p(x), encontre o valor numérico de p(1).​

Answer 1

Pelo princípio fundamental da álgebra, um polinômio de terceiro grau deve ter 3 raízes, como 2 são reais, a terceira deve ser real também! Suponha que a raíz não dita no enunciado é igual à k, portanto são raízes do polinômio, r, -r e k.

Então p(x) pode ser escrito como

$p(x)=(x+r)(x-r)(x-k)$

$p(x)=x^3+(r-r-k)x^2+(-r^2-rk+rk)x+r^2k$

$p(x)=x^3-kx^2-r^2x+r^2k$

Como os coeficentes de p(x) são conhecidos, podemos obter r e k a partir deles

$-k=1 \implies k=-1$

$-r^2=-a \implies r^2=a$

$r^2k=-3 \implies a*-1=-3$

$\therefore a=3$

Então, nosso polinômio é

$p(x)=x^3+x^2-3x-3$

$\boxed{p(1)=1+1-3-3=-4}$