Question

8. A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por
$y = - \frac{{x}^{2} }{4 } + \frac{x}{2}$
,com uma unidade representando um quilômetros (i.e.,x em quilômetros).A altura máxima que o projétil atingiu foi de:


a) 100m
b)150m
c)200m
d)250m

​

Answer 1

Após realizados cálculos concluímos que a altura máxima que o projétil atingiu foi de  $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf y_V = 250\: m }$.

O vértice da parábola corresponde ao ponto em que o gráfico de uma função do segundo grau muda de sentido.

O gráfico da função quadrática $\textstyle \sf f(x) = ax^{2} +bx +c$ é uma parábola cujo V é um ponto mínimo quando a > 0 e um ponto de máximo quando a < 0.

Por $\boldsymbol{ \textstyle \sf V (x_V, y_V) }$ e tem coordenadas dadas por:

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf x_V = \dfrac{-\: b}{2 a} ~~e ~ ~ y_V = \dfrac{-\: \Delta }{4a} }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \sf y = -\:\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x}{2}$

$\large \displaystyle \sf \large \text {\sf Coeficientes: } \begin{cases} \sf a = -\:\dfrac{1}{4} \\ \\ \sf b = \dfrac{1}{2} \\ \\ \sf c = 0 \end{cases}$

Para determinamos a altura máxima que o projétil, utilizaremos o vértice da ordenada.

$\large \displaystyle \sf \sf y_V = f(x_V) = -\: \dfrac{\Delta }{4a}$

Primeiro devemos o valor do Δ:

$\large \displaystyle \sf \sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\large \displaystyle \sf \sf \Delta = \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 -\:4\cdot \left( -\: \dfrac{1}{4} \right) \cdot 0$

$\large \displaystyle \sf \sf \Delta = \dfrac{1}{4} - 0$

$\large \displaystyle \sf \sf \Delta = \dfrac{1}{4}$

$\large \displaystyle \sf \sf y_V = -\: \dfrac{\Delta }{4a}$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf y_V = -\: \dfrac{\dfrac{1}{4} }{4\cdot \left( -\:\dfrac{1}{4} \right) } }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf y_V = -\: \dfrac{\dfrac{1}{4} }{ -\:\dfrac{4}{4} } }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf y_V = \dfrac{\dfrac{1}{4} }{ 1 } }$

$\large \displaystyle \sf \sf y_V = \dfrac{1}{4}$

$\large \displaystyle \sf \sf y_V =0,25 \:Km$

O enunciado pede metros, basta multiplicar por 1 000:

$\large \displaystyle \sf \sf y_V =0,25 \times 1\; 000$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf y_v = 250\: m }} }$

Alternativa correta é a letra D.

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