Question

(79 pontos) encontre, se existirem, as raízes das funções: 

a) y= (2/x-3) - (x/x+3)
b) y= X⁴ -3x² - 4

com resolução e explicação.
obrigada!

Answer 1

Olá!
 
  
a)


$y=\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{x}{x+3}.\;\;\text{Da\'{\i}, y=0\Leftrightarrow }\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{x}{x+3}=0\Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow \dfrac{2(x+3)-x(x-3)}{x^2-9}=0\Leftrightarrow 2(x+3)-x(x-3)=0\Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow 2x+6-x^2+3x=0\Leftrightarrow -x^2+5x+6=0\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow x^2-5x-6=0$

    A soma das raízes desta equação obtida deve resultar em   $5,$   e o produto delas deve ser   $-6.$   Os valores   $x_0=-1\;\;\text{e}\;\;x_1=6$    satisfazem estas condições.


    Portanto, as raízes procuradas são   $\{-1,\;6\}.$


b)

$y=x^4-3x^2-4.$   Daí,   $y=0\Leftrightarrow x^4-3x^2-4=0.$


    Faça    $z=x^2.$   Então,   $z^2=x^4.$
    Logo,
 
         $x^4-3x^2-4=0\Leftrightarrow z^2-3z-4=0.$
 
    Pelo mesmo método da soma e produto das raízes, chega-se a   $z_0=-1\;\;\text{e}\;\;z_1=4.$
 
    Lembrando que   $z=x^2$   temos:


Para   $z=z_0=-1:$


$-1=x^2,$   o que é um absurdo, pois todo número, no conjunto dos reais, elevado ao quadrado, é positivo. Logo esta solução não serve.


Para   $z=z_1=4:$

$4=x^2\Rightarrow x=\pm\;\sqrt{4}\Rightarrow x=\pm\;2.$


    Portanto, as soluções são   $\{-2,\;2\}.$




Bons estudos!